경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2025 · #19

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

ratefraction-arithmeticlinear-equations-one-varinterval-arithmetic dimensional-analysisidentify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: ratefraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

A 마을과 B 마을을 잇는 15 마일 직선 도로가 5 마일짜리 세 구간으로 나뉘어 있고, A 에서 B 방향으로 제한 속도가 차례로 25 mph, 40 mph, 20 mph 입니다. 두 자동차가 동시에 출발해 한 대는 A 에서 B 쪽으로, 다른 한 대는 B 에서 A 쪽으로 달리며, 각자 자기가 지나는 구간의 제한 속도와 정확히 같은 속도로 갑니다. 두 차가 만나는 지점은 A 마을에서 몇 마일 떨어진 곳일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

7.75

(B)

(C)

8.25

(D)

8.5

(E)

8.75

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 단위 살펴보기

거리·속력·시간이 얽힌 전형적인 비율 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기)을 중심에 두고, 모든 수에 "마일", "시간", "mph" 단위표를 붙여 가며 시간 = 거리 ÷ 속력으로 단위를 정리합니다. 도구 #1(그림 그리기)로 도로를 5 마일짜리 세 구간으로 그리고 구간별 속력과 두 차의 출발 화살표를 적어 두면, 구간이 바뀔 때마다 속력이 달라지는 점을 눈으로 추적할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 여정을 두 단계 — (1) 더 빠른 차가 첫 구간을 통과하고 두 차 모두 가운데 구간에 들어가기 전까지, (2) 두 차가 모두 40 mph 인 가운데 구간에서 마주 보고 달리는 마지막 추격전 — 로 나누면 큰 대수 방정식 없이도 깔끔하게 풀립니다.

1STEP 1

구간마다 속력 표시하기

도로를 5 마일짜리 세 구간으로 그립니다. 속도는 도로에 매겨지므로 A 차는 25→40→20, B 차는 거꾸로 20→40→25 를 지납니다.

A: 0 → 5 → 10 → 15 ; B: 15 → 10 → 5 → 0

2STEP 2

첫 구간 걸린 시간 구하기

시간 = 거리 ÷ 속력 으로 첫 5 마일 구간을 재면 A 차는 $\frac{1}{5}$ 시간, B 차는 $\frac{1}{4}$ 시간 이 걸립니다.

T_A,1 = (5 마일)/(25 mph) = 1/5 시간 T_B,1 = (5 마일)/(20 mph) = 1/4 시간

3STEP 3

두 시간 비교하기

$\frac{1}{5}$ 시간 ＜ $\frac{1}{4}$ 시간이라 A 차가 가운데 구간에 먼저 들어가므로, 둘은 t = $\frac{1}{4}$ 시간 이후 구간(둘 다 40 mph)에서 만납니다.

1/5 = 0.20 시간 ＜ 1/4 = 0.25 시간

4STEP 4

그 시각 A의 위치 구하기

t = $\frac{1}{4}$ 시간에 A 차는 가운데서 $\frac{1}{4}$ − $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{20}$ 시간을 달려 40 × $\frac{1}{20}$ = 2 마일 더 가 7 마일에 있습니다.

t = 1/4 시간일 때 A 차 위치: 5 + 40 × 1/20 = 5 + 2 = 7 마일

5STEP 5

만나는 데 걸리는 시간 구하기

두 차 모두 가운데서 40 mph, 3 마일 간격입니다. 마주 보면 40 + 40 = 80 mph 로 줄어 $\frac{3}{80}$ 시간 남습니다.

t_만남 = (3 마일)/((40 + 40) mph) = 3/80 시간

6STEP 6

만나는 지점 구하기

그 $\frac{3}{80}$ 시간에 A 차는 40 × $\frac{3}{80}$ = 1.5 마일 더 가, 7 + 1.5 = 8.5 마일에서 만납니다. 답은 (D).

만나는 지점 = 7 + 40 × 3/80 = 7 + 1.5 = 8.5 마일 → (D)

정답

8.5

직관 검증: 만약 두 차의 구간별 속도가 같은 순서로 같았다면 정확히 도로의 한가운데 7.5 마일에서 만났을 것입니다. 그런데 A 차의 첫 구간 속도(25 mph)가 B 차의 첫 구간 속도(20 mph)보다 빠르므로, A 차가 절반 이상을 가야 만납니다 — 즉 답은 7.5 보다 큽니다. 8.5는 7.5 보다 크고, 여전히 가운데 구간(5~10) 안에 있으므로 그림과도 일치합니다. 시간으로도 교차 검증해 보면, A 차가 8.5 마일까지 가는 데 걸리는 시간은

\frac{5}{25}

\frac{3.5}{40}

\frac{1}{5}

\frac{7}{80}

\frac{16}{80}

\frac{7}{80}

\frac{23}{80}

시간, B 차가 마을 B 에서 같은 8.5 마일 지점까지 가는 데 걸리는 시간은

\frac{5}{20}

\frac{1.5}{40}

\frac{1}{4}

\frac{3}{80}

\frac{20}{80}

\frac{3}{80}

\frac{23}{80}

시간 — 정확히 같으므로 확인 완료.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "마주 보고 달리는 두 차는 속도의 합만큼 거리가 줄어든다" 는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!

구간마다 속력 표시하기
첫 구간 걸린 시간 구하기
두 시간 비교하기
그 시각 A의 위치 구하기
만나는 데 걸리는 시간 구하기
만나는 지점 구하기

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