AMC 8 · 2025 · #23

학년 5 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

prime-numbersperfect-squaresprimality-testplace-value systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-numbersprimality-testplace-value

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문제

1000 부터 9999 까지의 네 자리 자연수 N 중에서 다음 세 조건을 동시에 만족하는 수가 몇 개인지 구하는 문제입니다. (I) N 의 십의 자리와 일의 자리가 모두 9, (II) N + 1 이 완전제곱수, (III) N 을 소인수분해하면 정확히 두 소수의 곱이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

조건 (I) 과 (II) 를 합치는 작은 문제가 핵심입니다 — N 이 99 로 끝나면 N + 1 = k² 은 00 으로 끝나야 하므로 k 가 10 의 배수로 강제됩니다 (도구 #7: 작은 문제로 쪼개기). 그러면 수천 개 후보가 단 일곱 개의 k 값 40, 50, …, 100 으로 줄어드는데, 이 후보들을 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 순서대로 적어 봅니다. 조건 (III) 검사는 k² - 1 = (k-1)(k+1) 라는 인수분해를 이용 — k-1 과 k+1 이 둘 다 소수여야 한다는 깔끔한 기준이 나오므로 도구 #3(가능성 지우기) 으로 합성수가 나오는 k 를 차례차례 지웁니다. 곱셈과 소수 판정 외에 대수는 전혀 필요하지 않습니다.

1STEP 1

99 로 끝나면 N + 1 은 00 으로 끝나고, 00 으로 끝나는 제곱수의 뿌리는 10 의 배수여야 하므로 k = 10m 입니다.

N + 1 ≡ 00 (mod 100) → k² 이 00 으로 끝남 → k = 10m

2STEP 2

1001 ≤ k² ≤ 10000 이고 k 가 10 의 배수이므로 후보는 k = 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 뿐입니다.

1001 ≤ k² ≤ 10000, k = 10m → k ∈ {40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}

3STEP 3

N = k² - 1 = (k-1)(k+1) 로 분해하면, k-1 과 k+1 이 모두 소수일 때만 N 이 두 소수의 곱입니다.

N = k² - 1 = (k-1)(k+1)

4STEP 4

살아남는 것은 k = 60 하나뿐 — 59 와 61 이 모두 소수라 N = 59 × 61 = 3599; 나머지 k 는 이웃이 합성수입니다.

k=40:& (39,41), 39=3· 13 X ; k=50:& (49,51), 49=7² X ; k=60:& (59,61) 둘 다 소수 ✓ ; k=70:& (69,71), 69=3· 23 X ; k=80:& (79,81), 81=3⁴ X ; k=90:& (89,91), 91=7· 13 X ; k=100:& (99,101), 99=9· 11 X

5STEP 5

조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 N = 3599 = 59 × 61 하나뿐 — 개수는 1, 선택지 (B).

개수 = 1 → (B)

정답

유일한 정답 3599 를 다시 점검해 봅니다 — 99 로 끝나고 (조건 I), 3599 + 1 = 3600 = 60² 으로 완전제곱수보다 1 작으며 (조건 II), 3599 = 59 × 61 로 두 소수의 곱입니다 (조건 III). 세 조건 모두 통과. 또 답이 1 인 것도 자연스럽습니다 — 쌍둥이 소수는 큰 수로 갈수록 드물게 나타나므로 좁은 구간에서 하나만 발견되는 것은 전형적인 결과이지 의심할 일이 아닙니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 자릿값·끝자리 0 의 패턴과 4학년 때 배운 "소수·합성수 판별" 만 알면 풀 수 있어요!

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