AMC 8 · 2025 · #24
학년 7 geometry-2dnumber-theory
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
주어진 그림에서 한 발 더 나가야 합니다 — 도구 #1(그림 그리기) 로 A 와 D 에서 밑변 BC 로 수선을 내려 보면, 가운데 직사각형 하나와 양옆에 합동인 30–60–90 직각삼각형 두 개가 생깁니다. 이게 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 분해입니다. 30–60–90 비율 때문에 각 다리의 "비어져 나온 부분" 이 정확히 다리 길이의 절반이 되어, BC = AD + AB 라는 깔끔한 관계가 나옵니다. 여기에 둘레 = 30 을 합치면 미지수 두 개짜리 식 하나만 남으므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 가능한 다리 길이를 작은 수부터 차례로 훑어 답을 셀 수 있습니다 — 무거운 대수 없이도 끝납니다.
밑변 AD = a, BC = b, 다리 = x; 수선을 내리면 직사각형 하나와 30–60–90 삼각형 두 개가 생깁니다.
평행한 두 밑변을 찾고 같은 길이의 다리를 짝지어 사다리꼴을 분류하는 것은 4학년 "평행선·수직선으로 도형 분류" 그대로입니다.
4.G.A.2Draw A Diagram각 30–60–90 삼각형의 빗변이 다리 x 이므로, 30° 의 대변인 삐져나온 부분 BE = CF 는 x/2 입니다.
직각삼각형의 두 예각이 서로 보각 관계(30° 와 60°)임을 읽어내는 것은 7학년 각 관계 표준입니다.
7.G.B.5Identify Subproblems긴 밑변은 BC = x/2 + a + x/2 로 쪼개지므로, 깔끔한 관계 b = a + x 가 나옵니다.
BC 의 세 토막을 더해서 전체 길이를 구하는 것은 4학년 "각·선분 측정값은 더해진다" 는 발상입니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems둘레 a + b + 2x = 30 에 b = a + x 를 대입하면 2a + 3x = 30 이 됩니다.
"둘레 = 30" 이라는 말을 문자 두 개짜리 한 식으로 옮기는 것이 6학년 "문자식 만들기" 입니다.
6.EE.B.6Identify Subproblems30 − 3x 가 양수·짝수여야 하므로 x 는 10 미만 짝수, 즉 x ∈ {2, 4, 6, 8} — 각각 b ＞ a 인 사다리꼴입니다.
2a + 3x = 30 의 양의 정수 해를 x 를 작은 값부터 훑으며 찾는 것은 6학년 "한 변수 방정식 풀이" 에 홀짝 판정을 더한 작업입니다.
6.EE.B.7Make A Systematic List각 줄이 서로 다른 변의 길이 묶음이라 네 사다리꼴은 모두 합동이 아니므로, 개수는 4, 답은 (E).
빠짐없이 나열한 표의 서로 다른 (x, a, b) 한 줄이 곧 사다리꼴 하나이므로, 줄 수를 세면 답입니다.
6.EE.B.7Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 30–60–90 각 관계와 6학년 때 배운 "가능한 정수 답 빠짐없이 나열하기" 만 알면 풀 수 있어요!