AMC 8 · 2025 · #8

학년 8 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

surface-areavolume-rectangular-prismpolyhedron-netsperfect-squares identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아이제이아가 종이 정육면체를 몇 개의 모서리를 따라 잘라서 한 장의 평면 도형(전개도)으로 펼쳤습니다. 그 평면 도형의 넓이가 18 제곱센티미터일 때, 원래 정육면체의 부피(세제곱센티미터)를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\sqrt{3}$

(B)

(C)

(D)

$6\sqrt{3}$

(E)

$9\sqrt{3}$

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

그림은 평면 전개도인데 물어보는 것은 3D 부피이므로, 도구 #17(공간 상상하기) 로 머릿속에서 전개도를 다시 접어 보는 것이 출발점입니다 — 겹침도 빈틈도 없이 정육면체의 바깥을 한 번 덮으니, 평면의 넓이가 곧 정육면체의 겉넓이라는 점이 보입니다. 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계 — (가) 겉넓이 → 한 면의 넓이, (나) 한 면의 넓이 → 모서리 길이 s, (다) s → 부피 V = s³ — 로 깔끔히 나눠 처리하면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 단위가 cm²(넓이) → cm(길이) → cm³(부피) 로 자연스럽게 흘러가는지 검증해 줍니다.

1STEP 1

전개도를 다시 접으면 정육면체 바깥을 정확히 한 번 덮으므로, 넓이는 겉넓이와 같아요.

겉넓이 = 전개도 넓이 = 18 cm²

2STEP 2

18 cm² 를 정육면체의 합동인 6개 면에 똑같이 나누면 한 면의 넓이는 3 cm² 예요.

한 면의 넓이 =

\frac{(18 cm²)}{6}

= 3 cm²

3STEP 3

한 면은 정사각형이므로 넓이의 제곱근을 취하면 모서리 s = √(3) cm 예요.

s² = 3 → s = √(3) cm

4STEP 4

V = s³ 에 넣고 √(3)·√(3) = 3 을 짝지으면 V = 3√(3) cm³ → (A) 예요.

V = s³ = (√(3))³ = √(3)·√(3)·√(3) = 3 · √(3) = 3√(3) cm³ → (A)

정답

3√(3)

어림으로 확인해 봅시다. √(3) ≈ 1.73 이므로 s ≈ 1.73 cm, s² ≈ 3 cm² (한 면 넓이와 일치), s³ ≈ 1.73 × 3 = 5.2 cm³ 입니다. 한편 3√(3) ≈ 3 × 1.73 = 5.2 로, 정확값과 어림값이 정확히 맞아떨어집니다. 단위 흐름(한 면 cm² → 모서리 cm → 부피 cm³) 도 문제가 요구하는 단위와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년에서 배우는 제곱근 규칙(√(3)·√(3)=3) 만 알면 풀 수 있어요 — 나머지는 "전개도 넓이 = 겉넓이" 와 간단한 나눗셈이에요!

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