경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2025 · #9
학년 6 arithmetic
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
쌍이 6 개뿐이므로 가장 직접적인 길은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)입니다 — (1,7), (2,8), …, (6,12) 처럼 순서대로 적고, 각 쌍의 평균을 구한 뒤, 그 6 개 수의 평균을 다시 구하면 끝납니다. 나열을 끝내고 보면 평균값이 4, 5, 6, 7, 8, 9 라는 깔끔한 "연속 정수" 가 나타나므로 도구 #5(패턴 찾기)로 "등간격으로 늘어선 수의 평균은 한가운데 값" 이라는 사실을 그대로 활용할 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 시계판을 직접 그려 마주 보는 쌍을 시각적으로 확인하는 데 도움이 되어 보조로 둡니다.
마주 보는 수 짝짓기
각 수를 맞은편 수와 짝지으세요 — '정반대' 는 6 칸 떨어진 위치라서 k 는 k+6과 짝입니다.
"k 는 k+6과 짝" 이라는 규칙을 따라 쌍을 만드는 것은 4학년 "주어진 규칙으로 수의 패턴 만들기" 그대로입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List각 짝의 평균 구하기
각 쌍을 로 평균 내면 4, 5, 6, 7, 8, 9 가 나옵니다.
각 쌍의 합이 18 이하이고 2로 나누는 정도는 3학년 "100 이내 곱셈·나눗셈" 으로 충분히 해낼 수 있습니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List여섯 평균의 평균 구하기
이 여섯 평균은 연속된 정수라서, 평균은 곧 한가운데 값 — 처음과 마지막의 평균입니다.
등간격으로 늘어선 수의 평균이 한가운데 값과 같다는 사실은 6학년 "자료의 중심값(평균)으로 자료를 요약하기" 표준에 해당합니다.
여섯 개의 짝 평균 4, 5, 6, 7, 8, 9 — 매번 같은 폭으로 올라가는 수열 — 에서 전체의 평균은 그 한가운데 값, 곧 첫 값과 마지막 값의 평균 (4+9)/2과 같다.
▸ 왜?
평균은 수들의 총합을 개수로 나눈 것이므로, 총합이 개수 곱하기 한가운데 값과 같다는 것만 보이면 개수로 나누었을 때 정확히 한가운데 값만 남는다.
▸ 왜?
곱을 만든 두 인수 중 하나로 그 곱을 나누면 다른 인수가 그대로 돌아오므로, 개수 곱하기 한가운데 값을 개수로 나누면 한가운데 값이 나온다.
▸ 왜?
총합은 정말로 개수 곱하기 한가운데 값과 같다: 수열을 양 끝에서 안쪽으로 접어 짝을 지으면 — 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음 작은 것과 그다음 큰 것 — 모든 짝의 합이 똑같이 한가운데 값의 두 배가 되어, 짝들을 다 합치면 개수 곱하기 한가운데 값이 된다.
▸ 왜?
각 짝의 합이 서로 똑같은 것은, 안쪽으로 한 걸음 옮길 때 아래쪽 수가 고정된 폭만큼 올라가는 만큼 위쪽 수가 같은 폭만큼 내려가고, 오름과 내림이 서로를 되돌려 짝의 합이 결코 바뀌지 않기 때문이다.
▸ 왜?
그 똑같은 짝의 합들을 모두 더하면 수열 자신의 총합이 되는 것은, 짝들이 모든 수를 정확히 한 번씩 써서 빠뜨린 것도 두 번 센 것도 없기 때문이다.
더해서 나눠 확인하기
여섯 수를 모두 더해 39 를 얻고 6으로 나누면 같은 값이 됩니다.
39/6을 "39 ÷ 6" 으로 읽어 6.5로 정리하는 것은 5학년 "분수를 나눗셈으로 해석하기" 입니다.
5.NF.B.3Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배우는 "평균은 자료의 한가운데 값" 개념만 알면 풀 수 있어요 — 쌍의 평균이 4, 5, 6, 7, 8, 9로 줄지어 나타나는 순간, 답은 정확히 한가운데 6.5 예요!
- 마주 보는 수 짝짓기
- 각 짝의 평균 구하기
- 여섯 평균의 평균 구하기
- 더해서 나눠 확인하기
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