AMC 10 · 2003 · #24

쉬운 모드 학년 4

문제

샐리에게는 $1, 2, 3, 4, 5$ 가 적힌 빨간 카드 다섯 장과 $3, 4, 5, 6$ 이 적힌 파란 카드 네 장이 있어요. 샐리는 아홉 장을 모두 한 더미로 쌓는데, 색깔이 번갈아 나오게 해요: 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, 이런 식으로요. 그리고 빨간 카드마다 그 카드에 닿는 모든 파란 카드가 나누어떨어지게 해요. 더미 한가운데에 있는 세 카드의 숫자를 더해요. 그 합은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 아홉 장의 카드를 한 더미로 쌓되 빨강과 파랑이 번갈아 오고, 이웃한 파랑 카드마다 그에 닿는 빨강 카드가 나누어떨어지게 한다. 그런 다음 더미 한가운데 놓인 세 카드의 숫자를 더한다.

주어진 것: $1,2,3,4,5$가 적힌 빨강 카드 다섯 장과 $3,4,5,6$이 적힌 파랑 카드 네 장; 더미를 따라 색이 번갈아 와야 한다; 각 빨강 카드는 자기 옆에 있는 모든 파랑 카드를 나누어떨어지게 해야 한다; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: 더미 속 아홉 카드의 순서; 한가운데 있는 세 카드의 숫자의 합

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #14 극단의 원리, #1 그림 그리기

카드 순서가 너무 많아 하나씩 시도할 수 없으므로, 나누어떨어짐 규칙으로 선택지를 지워 나가 단 하나의 더미만 남기는 것이 똑똑한 방법이다. 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 파랑 카드를 어떤 빨강 카드가 나누는지 정확히 적어, 막연한 규칙을 작은 표로 바꾼다. 그다음 도구 #14(극단의 원리)로 가장 까다로운 카드를 찾는다: 파랑 한 장만 나누는 두 빨강은 유연하게 갈 곳이 없어 양 끝에 못 박힌다. 거기서부터 도구 #3(가능성 지우기)이 강제된 선택을 하나씩 이어 모든 자리를 채운다. 도구 #1(그림 그리기)은 아홉 자리를 눈앞에 두어 한가운데 세 장을 볼 수 있게 한다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

각 파랑을 나누는 빨강 나열하기

색이 번갈아 오는 아홉 장은 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, 빨강 순서여야 하므로 빨강이 양 끝을 차지하고 각 파랑은 두 빨강 사이에 낀다.
파랑마다 그를 나누는 빨강 숫자를 적자: 파랑 $3$은 빨강 $1,3$이, 파랑 $4$는 빨강 $1,2,4$가, 파랑 $5$는 빨강 $1,5$가, 파랑 $6$은 빨강 $1,2,3$이 나눈다.
이 표가 무엇 옆에 무엇이 올 수 있는지를 정하는 모든 규칙이다.

$$3:\{1,3\},\quad 4:\{1,2,4\},\quad 5:\{1,5\},\quad 6:\{1,2,3\}$$

💡 빨강은 자기가 나누는 파랑 옆에만 올 수 있으므로, 그 약수들을 먼저 적어 두면 가능한 이웃이 모두 드러난다.

#14 극단의 원리 4.OA.B.4 단계 2

가장 까다로운 빨강을 끝에 못 박기

표를 뒤집어 각 빨강이 어디에 올 수 있는지 묻자.
빨강 $5$는 파랑 $5$만, 빨강 $4$는 파랑 $4$만 나누어, 둘 다 파랑 한 장 옆에만 맞는다.
그런데 안쪽 자리에 놓인 빨강은 파랑 두 장에 닿아 그 둘 모두를 나누어야 한다.
빨강 $4$와 $5$는 그럴 수 없으므로 더미의 양 끝으로 밀려나고, 각자 자기와 맞는 파랑 한 장을 옆에 둔다: 빨강 $5$는 파랑 $5$ 옆에, 빨강 $4$는 파랑 $4$ 옆에.

$$5\mid 5\text{만},\ 4\mid 4\text{만}\ \Rightarrow\ \text{빨강 }4,5\text{는 양 끝}$$

💡 한 자리에만 맞는 카드는 두 자리에 맞아야 하는 가운데에 낄 수 없으므로 구석으로 밀려난다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

강제된 이웃을 안쪽으로 이어 가기

파랑 $5$는 빨강 이웃이 둘 필요한데 모두 $\{1,5\}$에서 와야 하고, 하나가 빨강 $5$이므로 다른 이웃은 빨강 $1$일 수밖에 없다.
이렇게 한쪽 끝이 만들어진다: 빨강 $5$, 파랑 $5$, 빨강 $1$.
안쪽 빨강 두 자리에는 빨강 $2$와 $3$만, 안쪽 파랑 두 자리에는 파랑 $3$과 $6$만 남는다.
반대쪽 끝의 파랑 $4$ 옆의 다른 이웃은 $4$를 나누어야 하는데, 빨강 $2$와 $3$ 중에서는 빨강 $2$만 되므로 빨강 $2$가 파랑 $4$ 옆에 오고 빨강 $3$이 한가운데를 차지한다.
빨강 $3$과 $2$ 사이의 파랑은 $3$과 $2$ 모두로 나누어져야 하니 파랑 $6$이고, 그러면 파랑 $3$은 빨강 $1$과 $3$ 사이에 남는다(둘 다 $3$을 나눈다).

$$5,\,5,\,1,\,3,\,3,\,6,\,2,\,4,\,4$$

💡 어떤 파랑을 나누는 빨강이 하나만 남을 때마다 그 이웃이 강제되고, 강제된 선택 하나가 다음 선택을 내어 준다.

#1 그림 그리기 2.NBT.B.5 단계 4

한가운데 세 카드 더하기

완성된 아홉 장 더미는 위에서 아래로 $5,5,1,3,3,6,2,4,4$이다.
정확히 한가운데 세 장은 네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째, 곧 파랑 $3$, 빨강 $3$, 파랑 $6$이다.
그 합은 $3+3+6=12$이다.
따라서 한가운데 세 카드의 숫자의 합은 $12$이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$3+3+6=12\ \Rightarrow\ \textbf{(E)}$$

💡 순서가 확정되면 답은 가운데 서 있는 세 숫자를 더하는 것뿐이다.

[1] #2 4.OA.B.4 색이 번갈아 오는 아홉 장은 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, 빨강 순서여야 하므로 빨강이 양 끝을 차지하고 각 파랑은

[2] #14 4.OA.B.4 표를 뒤집어 각 빨강이 어디에 올 수 있는지 묻자. 빨강 $5$는 파랑 $5$만, 빨강 $4$는 파랑 $4$만 나누어, 둘 다 파랑 한 장 옆에

[3] #3 4.OA.B.4 파랑 $5$는 빨강 이웃이 둘 필요한데 모두 $\{1,5\}$에서 와야 하고, 하나가 빨강 $5$이므로 다른 이웃은 빨강 $1$일 수밖에 없다.

[4] #1 2.NBT.B.5 완성된 아홉 장 더미는 위에서 아래로 $5,5,1,3,3,6,2,4,4$이다. 정확히 한가운데 세 장은 네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째, 곧

검토

합리성 확인: 완성된 더미 $5,5,1,3,3,6,2,4,4$를 읽고 맞닿은 모든 짝을 확인하자: $5\mid5$, $1\mid5$, $1\mid3$, $3\mid3$, $3\mid6$, $2\mid6$, $2\mid4$, $4\mid4$ — 여덟 번의 나눗셈이 모두 나누어떨어지고 색도 끝까지 번갈아 온다. 모든 단계가 강제되었으므로 이것이 유일하게 성립하는 더미이고, 따라서 한가운데 합 $12$는 여러 후보 중 하나가 아니라 곧 답이며 선택지 (E)와 일치한다.

대안 접근: 끝에서 시작하는 대신 파랑 $5$에서 시작하자: 가능한 이웃이 빨강 $1$과 $5$뿐이므로 곧바로 그 둘 사이에 고정된다. 그러면 파랑 $4$가 빨강 $1$ 또는 $2$를 강제하고, 파랑 $6$은 양옆에 $\{1,2,3\}$의 빨강이 필요하다. 이 제약들을 함께 밀어붙이면 같은 유일한 더미와 같은 한가운데 합이 다시 만들어진다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (어떤 빨강 숫자가 각 파랑 숫자를 나누는지 판정하여 가능한 모든 이웃을 정하고 전체 배열을 강제하는 데 사용.)
2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (한가운데 세 카드 $3+3+6$을 더해 최종 합 $12$를 구하는 데 사용.)

⭐ 한 곳에만 맞는 조각을 찾아 먼저 못 박아 두면, 강제된 선택 하나하나가 다음을 가리켜 결국 퍼즐이 스스로 풀린다.