경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2003 · #14
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
필산 퍼즐은 한 덩어리처럼 보이지만, 세로셈은 네 개의 작은 문제를 자동으로 나눠 줍니다 (도구 #7): 천의 자리, 백의 자리, 일의 자리, 십의 자리. 가장 많은 글자를 빠르게 묶을 수 있는 순서 — 천 → 백 → 일 → 십 — 으로 풀면 T, F, O, R 이 차례로 정해집니다. 마지막 십의 자리에서는 W 후보가 0, 1, 2, 3, 4 다섯 개로 줄어들고, 거기서 도구 #3(가능성 지우기)이 "모든 글자는 서로 다른 숫자" 규칙으로 후보를 하나씩 지워 줍니다.
천의 자리 풀기
천의 자리: 맨 앞 글자는 올림이고, 세 자리 수 두 배는 올림이 최대 하나뿐이라 F = 1.
4학년 자리값 추론: 자릿수에서 "위로 튀어나온" 숫자가 올림이고, 세 자리 수 두 배는 올림이 많아야 1 이라는 점을 그대로 사용.
4.NBT.A.2Identify Subproblems백의 자리 풀기
백의 자리: 14 + c₂ = 10 + O 에서 O = 4 + c₂, O 가 짝수라는 조건이 O = 4 (올림 c₂ = 0)를 고릅니다.
4학년 표준 덧셈 알고리즘: 자릿수의 결과는 "열 합 - 10 × 올림". 짝수 조건이 두 경우 중 하나를 지웁니다.
백의 자리에서 7 + 7에 십의 자리 올림을 더한 값은 맨 앞의 십과 그 뒤의 O로 읽혀야 하고, O가 짝수라는 조건이 O = 4를 확정한다.
▸ 왜?
백의 자리에서 십에 도달하면 새로운 천의 자리 — 맨 앞의 한 자리 — 로 묶여 올라가고 나머지는 O로 남으므로, 이 자리는 14 + c = 10 + O가 되어 O = 4 + c가 된다.
▸ 왜?
한 자리는 9까지만 담을 수 있어 열 번째 단위는 다음 자리로 묶여 올라가고, 그래서 넘친 부분은 맨 앞의 새 자리로 나타나고 남은 부분은 O로 뒤에 남는다.
▸ 왜?
십의 자리에서 올라오는 올림 c는 0 또는 1인데, 한 자리 수 두 개를 두 배 하고 (기껏해야 1의 올림을 더해도) 위로 묶어 올릴 수 있는 새 십은 많아야 하나이기 때문이다.
▸ 왜?
O = 4 + c이고 c가 0 또는 1이므로 O는 4 아니면 5인데, O가 짝수라는 조건이 홀수인 5를 버린다.
▸ 왜?
4와 5는 연속한 자연수라 서로 반대 패리티를 가진다 — 하나는 두 개의 같은 묶음으로 나뉘고 바로 다음 수는 그럴 수 없다 — 따라서 4와 5 중 정확히 하나만 짝수이다.
일의 자리 풀기
일의 자리: O = 4 라 O + O = 8, 10 미만이므로 R = 8 이고 십의 자리로 올림은 없습니다 (c₁ = 0).
이 자리는 받아올림이 없습니다 — 열 합이 한 자리 수라 그대로 R 이 되고, 십의 자리로는 아무것도 넘어가지 않습니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems십의 자리 풀기
십의 자리: 두 올림 모두 0, W + W = U (2W 는 10 미만); U (6)가 다른 글자와 안 겹치는 W = 3 만 남습니다.
4학년 "수 범위 안에서 따지기": W 는 두 배해도 한 자리여야 하고, 다른 글자와 겹치지도 말아야 합니다. 다섯 후보 중 하나만 남습니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities필산 퍼즐도 결국 세로셈입니다. 자리 하나씩 차근차근 풀면서 F, O, R 을 차례로 묶고 나면 십의 자리에서는 W 후보가 다섯 개뿐 — 모든 글자가 서로 다른 숫자가 되도록 만드는 건 W = 3 하나입니다.
- 천의 자리 풀기
- 백의 자리 풀기
- 일의 자리 풀기
- 십의 자리 풀기
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