AMC 10 · 2007 · #25

쉬운 모드 학년 4

문제

$0$ 보다 큰 정수 $n$ 에 대해, $S(n)$ 을 $n$ 의 각 자리 숫자의 합이라고 합시다. 예를 들어 $S(2007) = 2+0+0+7 = 9$ 입니다. 여기에 $S$ 를 한 번 더 적용한 $S(S(n))$ 은 그 결과의 각 자리 숫자의 합입니다. $n + S(n) + S(S(n)) = 2007$ 이 되는 $n$ 은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 3$

(D)

$\ 4$

(E)

$\ 5$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $n$에 대해 $S(n)$을 $n$의 각 자리 숫자의 합이라 하고, 여기에 $S$를 한 번 더 적용해 $S(S(n))$을 얻는다. $n + S(n) + S(S(n))$이 정확히 $2007$이 되는 $n$의 개수를 구하라.

주어진 것: $S(n)$은 $n$의 각 자리 숫자의 합이다; $S(S(n))$은 그 자리 숫자 합의 자리 숫자 합이다; 만족해야 할 식은 $n + S(n) + S(S(n)) = 2007$이다; $n$은 양의 정수 전체를 움직인다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 식을 만족하는 양의 정수 $n$의 개수

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

양의 정수는 무한히 많으므로, 먼저 Tool #14(극단의 원리)로 $n$을 아주 좁은 구간에 가둔다. 두 추가 항 $S(n)+S(S(n))$은 결코 커질 수 없어서 $n$은 $2007$ 바로 아래에 있어야 한다. 그러면 후보는 수십 개뿐이다. 다음으로 Tool #16(관점 바꾸기)으로 문제를 $9$로 나눈 나머지의 관점에서 본다. 자리 숫자 합 규칙에 의해 $n$은 $3$의 배수가 될 수밖에 없어 후보가 3분의 2로 줄어든다. 마지막으로 Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 $3$의 배수들을 순서대로 지나가며 각각 $n + S(n) + S(S(n))$을 계산하고 맞는 것을 센다.

실행 — 정답: D

#14 극단의 원리 4.NBT.B.4 단계 1

$n$을 좁은 구간에 가두기

$S(n)$과 $S(S(n))$이 모두 양수이므로 $n < 2007$이다.
이제 이 두 항이 얼마나 커질 수 있는지 한계를 잡자.
$2007$ 미만의 어떤 $n$이든 각 자리 숫자는 최대 $1,9,9,9$이므로 $S(n) \le 28$이다.
그러면 $S(n)$은 최대 $28$이고 그 자리 숫자 합은 최대 $10$이므로 $S(S(n)) \le 10$이다.
따라서 $S(n) + S(S(n)) \le 38$이다.
식을 정리하면 $n = 2007 - S(n) - S(S(n)) \ge 2007 - 38 = 1969$이다.
그러므로 모든 해는 $1969 \le n \le 2006$을 만족한다.

$$S(n)+S(S(n)) \le 28+10 = 38 \;\Rightarrow\; n = 2007 - S(n) - S(S(n)) \ge 1969, \quad\text{따라서 } 1969 \le n \le 2006$$

💡 자리 숫자 합은 아주 작아서 $n$은 $2007$ 바로 아래로만 내려갈 수 있다.

#16 관점 바꾸기 4.NBT.B.6 단계 2

$3$의 배수만 남기기

어떤 수를 $9$로 나눈 나머지는 그 수의 자리 숫자 합을 $9$로 나눈 나머지와 같다.
$10, 100, 1000$이 각각 $9$의 배수보다 $1$ 크기 때문이다.
그래서 $n$, $S(n)$, $S(S(n))$은 $9$로 나눌 때 모두 같은 나머지 $r$을 남긴다.
그 합은 나머지 $r + r + r = 3r$을 남긴다.
합이 $2007$이어야 하는데 $2007 = 9 \times 223$은 나머지 $0$을 남긴다.
그래서 $3r$이 $9$의 배수여야 하고, 이는 $r$이 $3$의 배수임을 뜻한다.
$9$로 나눈 나머지가 $3$의 배수인 수는 정확히 $3$의 배수이다.
따라서 $n$은 $3$의 배수여야 한다.

$$n \equiv S(n) \equiv S(S(n)) \equiv r \pmod 9 \;\Rightarrow\; 3r \equiv 2007 \equiv 0 \pmod 9 \;\Rightarrow\; 3 \mid r \;\Rightarrow\; 3 \mid n$$

💡 각 항이 $9$에 대해 같은 나머지를 지녀서, 세 항의 합이 $9$의 배수가 되려면 $n$이 $3$의 배수여야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.A.2 단계 3

남은 후보를 하나씩 확인하기

$1971$부터 $2004$까지 $3$의 배수를 나열하고 각각 $n + S(n) + S(S(n))$을 계산한다.
$1971 \to 1971+18+9 = 1998$.
$1974 \to 1974+21+3 = 1998$.
$1977 \to 1977+24+6 = 2007$.
$1980 \to 1980+18+9 = 2007$.
$1983 \to 1983+21+3 = 2007$.
$1986 \to 1986+24+6 = 2016$.
$1989 \to 1989+27+9 = 2025$.
$1992 \to 1992+21+3 = 2016$.
$1995 \to 1995+24+6 = 2025$.
$1998 \to 1998+27+9 = 2034$.
$2001 \to 2001+3+3 = 2007$.
$2004 \to 2004+6+6 = 2016$.

$$1977,\,1980,\,1983,\,2001 \;\rightarrow\; 2007 \quad(\text{나머지는 모두 빗나감})$$

💡 구간이 이렇게 좁으니 각 $3$의 배수를 자리별로 직접 확인하면 개수가 확실히 정해진다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

맞은 것의 개수 세기

정확히 네 후보가 $2007$에 맞는다: $n = 1977$, $1980$, $1983$, $2001$.
구간 안의 다른 어떤 수도 맞지 않고, 이 구간은 가능한 모든 해를 담고 있다.
따라서 $n$의 값은 $4$개이다.
답은 (D)이다.

$$n \in \{1977,\,1980,\,1983,\,2001\} \;\Rightarrow\; 4 \text{개} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 모든 거름망과 확인을 통과한 수가 넷이므로 개수는 넷이다.

[1] #14 4.NBT.B.4 $S(n)$과 $S(S(n))$이 모두 양수이므로 $n < 2007$이다. 이제 이 두 항이 얼마나 커질 수 있는지 한계를 잡자. $2007$

[2] #16 4.NBT.B.6 어떤 수를 $9$로 나눈 나머지는 그 수의 자리 숫자 합을 $9$로 나눈 나머지와 같다. $10, 100, 1000$이 각각 $9$의 배수보다

[3] #2 4.NBT.A.2 $1971$부터 $2004$까지 $3$의 배수를 나열하고 각각 $n + S(n) + S(S(n))$을 계산한다. $1971 \to 1971+18

[4] #2 4.OA.B.4 정확히 네 후보가 $2007$에 맞는다: $n = 1977$, $1980$, $1983$, $2001$. 구간 안의 다른 어떤 수도 맞지 않고,

검토

합리성 확인: 네 개의 해를 손으로 확인해 보자. $1977$: 자리 숫자 합은 $1+9+7+7 = 24$, 그 합은 $2+4 = 6$이므로 $1977+24+6 = 2007$이다. $2001$: 자리 숫자 합은 $3$, $S(3)=3$이므로 $2001+3+3 = 2007$이다. 둘 다 맞다. 네 해는 자연스럽게 두 무리($1977$–$1983$과 외따로 떨어진 $2001$)로 나뉘는데, 이는 $n$이 $1900$대에서 $2000$대로 넘어가며 자리 숫자 합이 뛰는 것과 일치한다. $4$는 선택지에 있고 $3$의 배수 패턴과도 맞으므로 (D)가 타당하다.

대안 접근: mod $9$ 지름길을 건너뛰고 구간을 직접 전부 계산할 수도 있다. $1969 \le n \le 2006$은 $38$개뿐이므로 그 범위의 모든 $n$에 대해 $n + S(n) + S(S(n))$을 계산하면 된다. 같은 네 값 — $1977, 1980, 1983, 2001$ — 이 나와 나누어떨어짐 논증 없이도 개수를 확인해 준다. mod $9$ 거름망은 계산의 약 3분의 2를 줄여줄 뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 하기 ($2007 - S(n) - S(S(n))$으로부터 $n$을 $1969$와 $2006$ 사이로 좁히기.)
4.NBT.B.6 네 자리 이하 피제수의 몫과 나머지 구하기 ($9$로 나눈 나머지와 자리 숫자 합 규칙을 이용해 $n$이 $3$의 배수임을 밝히기.)
4.NBT.A.2 십진 표기와 전개식으로 여러 자리 수를 읽고 쓰기 (후보 수들에 대해 각 자리 숫자 합 $S(n)$과 $S(S(n))$을 계산하기.)
4.OA.B.4 약수 쌍을 찾고 배수를 알아보기 (후보를 $3$의 배수로 제한하고 맞는 네 개를 세기.)

⭐ 자리 숫자 합은 아주 작아서 $n$은 $2007$ 바로 아래에 있어야 하고, 그 짧은 $3$의 배수 목록을 확인하면 정확히 네 개가 남는다.