AMC 10 · 2013 · #5
쉬운 모드 학년 4톰, 도로시, 새미가 함께 여행을 가면서 전체 비용을 똑같이 나누기로 했다. 톰은 $105, 도로시는 $125, 새미는 $175를 냈다. 각자 낸 돈을 똑같이 맞추려고 톰은 새미에게 t달러를 주었고, 도로시는 새미에게 d달러를 주었다. t−d는 얼마인가?
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 친구가 여행 비용을 똑같이 나누어 부담하기로 했지만, 실제로 미리 낸 금액은 각각 $\$105$, $\$125$, $\$175$로 서로 다르다. 여행이 끝난 뒤 톰은 새미에게 $t$ 달러를, 도로시는 새미에게 $d$ 달러를 건네서 결국 세 사람이 낸 금액이 같아지도록 만든다. $t-d$를 구하라.
주어진 것: 톰은 $\$105$, 도로시는 $\$125$, 새미는 $\$175$를 냈다; 세 사람은 전체 비용을 똑같이 나누기로 약속했다; 여행 후 톰이 하는 거래는 새미에게 $t$ 달러를 주는 것 하나뿐이다; 여행 후 도로시가 하는 거래는 새미에게 $d$ 달러를 주는 것 하나뿐이다; 보기: (A) $15$, (B) $20$, (C) $25$, (D) $30$, (E) $35$
구하는 것: $t-d$의 값
이해
문제 재정리: 세 친구가 여행 비용을 똑같이 나누어 부담하기로 했지만, 실제로 미리 낸 금액은 각각 $\$105$, $\$125$, $\$175$로 서로 다르다. 여행이 끝난 뒤 톰은 새미에게 $t$ 달러를, 도로시는 새미에게 $d$ 달러를 건네서 결국 세 사람이 낸 금액이 같아지도록 만든다. $t-d$를 구하라.
주어진 것: 톰은 $\$105$, 도로시는 $\$125$, 새미는 $\$175$를 냈다; 세 사람은 전체 비용을 똑같이 나누기로 약속했다; 여행 후 톰이 하는 거래는 새미에게 $t$ 달러를 주는 것 하나뿐이다; 여행 후 도로시가 하는 거래는 새미에게 $d$ 달러를 주는 것 하나뿐이다; 보기: (A) $15$, (B) $20$, (C) $25$, (D) $30$, (E) $35$
계획
주요 도구: #15 다르게 정리하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기
이 문제를 푸는 열쇠는 도구 #15이다. 누가 누구에게 얼마를 주는지 따라가는 대신, 각 사람을 "낸 돈 + 준 돈 − 받은 돈"이라는 장부 한 줄로 다시 정리하고, 세 줄이 모두 같은 공평한 몫이 되도록 요구하면 된다. 그다음 도구 #7이 일을 세 개의 작은 계산으로 쪼갠다: 전체 비용 더하기, $3$으로 나누기, 각자가 공평한 몫에서 얼마나 벌어져 있는지 재기. 도구 #8은 모든 양을 달러 단위로 유지해 "부족액"과 "건네는 금액"을 바로 비교할 수 있게 해 준다. 도구 #3으로 마지막 수를 보기 하나에 맞춘다.
실행 — 정답: B
3.NBT.A.2 단계 1 여행 전체 비용 더하기
- 돈을 건네는 일은 친구들 사이에서 달러를 옮길 뿐이므로 여행에 든 전체 비용을 바꿀 수 없다.
- 세 사람이 낸 금액을 더한다: $105+125=230$, 이어서 $230+175=405$.
- 여행 비용은 모두 $\$405$이다.
💡 친구들 사이를 오간 돈은 집단 밖으로 나가지 않으므로, 정산을 시작하기 전에 전체 지출은 이미 고정되어 있다.
4.NBT.B.6 단계 2 하나뿐인 공평한 몫 구하기
$\$405$를 세 사람이 똑같이 나눈다는 것은 각자가 최종적으로 $405 \div 3 = 135$ 달러를 부담해야 한다는 뜻이다. $405$는 각 자리 숫자의 합이 $4+0+5=9$이므로 $3$으로 나누어떨어지고, 따라서 공평한 몫은 정확히 정수 달러가 되어 센트를 쪼갤 필요가 없다.
💡 "모두가 같은 금액을 낸다"는 조건은 이야기 전체를 각자가 도달해야 할 목표 수 하나로 바꿔 준다.
4.OA.A.3 단계 3 톰과 도로시의 장부 읽기
- 톰은 돈을 주기만 하고 받지 않으므로 최종 부담액은 $105+t$이고, 이 값이 $135$와 같아야 한다.
- 그러면 $t$는 정확히 그 차이인 $135-105=30$으로 확정된다.
- 도로시의 장부는 $125+d=135$이므로 $d=135-125=10$이다.
- 두 사람 모두 거래를 딱 한 번씩만 하므로, 이 값들은 가능한 값 중 하나가 아니라 유일하게 성립하는 값이다.
💡 덜 낸 사람은 자신이 낸 금액과 공평한 몫 사이의 거리만큼 정확히 빚진 것이다.
4.OA.A.3 단계 4 새미의 장부도 맞아떨어지는지 확인하기
- 앞의 두 식은 톰과 도로시가 얼마를 내야 하는지만 말해 줄 뿐, 문제에 적힌 정산이 실제로 가능하다는 것까지 보여 주지는 않는다.
- 두 가지가 성립해야 한다.
- 첫째, $t=30$과 $d=10$은 모두 양수이므로 두 사람 모두에게 "새미에게 주었다"는 말이 문자 그대로 참이다.
- 어느 쪽도 사실은 돈을 받아야 하는 처지가 아니다.
- 둘째, 새미의 장부도 $135$에 도달해야 한다.
- 그는 $175$를 냈고 $t+d=30+10=40$을 받으므로 최종 부담액은 $175-40=135$이다.
- 실제로 맞아떨어진다.
- 따라서 이 두 번의 송금 한 라운드만으로 여행 정산이 완전히 끝난다.
💡 돈을 내는 사람들뿐 아니라 돈을 받는 사람까지 공평한 몫에 도달해야 비로소 진짜 정산이다.
3.NBT.A.2 단계 5 두 송금액의 차 구하기
- 문제는 새미에게 건넨 두 금액의 차를 묻는다: $t-d = 30-10 = 20$.
- 이는 보기 (B)이다.
💡 두 송금액이 모두 구체적인 수로 정해지면, 답은 뺄셈 한 번 거리에 있다.
3.NBT.A.2 돈을 건네는 일은 친구들 사이에서 달러를 옮길 뿐이므로 여행에 든 전체 비용을 바꿀 수 없다. 세 사람이 낸 금액을 더한다: $105+125=2 4.NBT.B.6 $\$405$를 세 사람이 똑같이 나눈다는 것은 각자가 최종적으로 $405 \div 3 = 135$ 달러를 부담해야 한다는 뜻이다. $405$는 4.OA.A.3 톰은 돈을 주기만 하고 받지 않으므로 최종 부담액은 $105+t$이고, 이 값이 $135$와 같아야 한다. 그러면 $t$는 정확히 그 차이인 $ 4.OA.A.3 앞의 두 식은 톰과 도로시가 얼마를 내야 하는지만 말해 줄 뿐, 문제에 적힌 정산이 실제로 가능하다는 것까지 보여 주지는 않는다. 두 가지가 성 3.NBT.A.2 문제는 새미에게 건넨 두 금액의 차를 묻는다: $t-d = 30-10 = 20$. 이는 보기 (B)이다. 검토
합리성 확인: 서로 독립적인 세 가지 확인이 모두 일치한다. (1) 공평한 몫 $135$는 가장 적게 낸 $105$와 가장 많이 낸 $175$ 사이에 있으며, 평균이라면 마땅히 있어야 할 자리다. (2) 돈이 보존된다: 톰과 도로시에게서 나간 $30+10=40$은 새미가 더 낸 $175-135=40$과 정확히 같으므로, 돈이 새로 생기거나 사라지지 않는다. (3) 최종 장부가 모두 같은 수에 도달한다: $105+30=135$, $125+10=135$, $175-40=135$. 구하는 차 $t-d=20$은 보기 (B)이고, $t=30$ 하나보다 작다는 점도 보기 목록과 잘 맞는다.
대안 접근: 공평한 몫을 아예 구하지 않는, 구조가 다른 더 빠른 길도 있다. 공통의 몫을 $S$라 하면 톰의 장부에서 $t = S-105$, 도로시의 장부에서 $d = S-125$이다. 두 식을 빼면 미지수 $S$가 지워진다: $t-d = (S-105)-(S-125) = 125-105 = 20$. 즉 $t-d$는 도로시와 톰이 낸 금액의 차이일 뿐이고, 새미의 $\$175$는 한 번도 쓰이지 않는다. 우아하지만 이 방법이 무엇을 증명하고 무엇을 증명하지 않는지 알아 둘 필요가 있다. $S$를 지우는 계산은 차이가 하나로 확정된다는 것만 보여 줄 뿐, 문제에 적힌 상황이 실제로 실현 가능한지는 전혀 확인하지 않는다. 만약 도로시가 공평한 몫보다 많이 냈더라도 같은 뺄셈은 여전히 $20$을 내놓겠지만, 그때 "도로시가 새미에게 $d$ 달러를 주었다"는 말은 음수인 $d$를 요구하게 된다. 본풀이에서는 두 부족액이 모두 양수라는 점과 새미의 장부가 $135$에서 닫힌다는 점을 확인했으므로, 이 지름길의 답이 실제로 문제가 물은 것에 대한 답이 된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.NBT.A.21000 이하에서 유창하게 더하고 빼기 ($105+125+175=405$을 더하고, 빼서 부족액 $30$과 $10$, 그리고 마지막 차 $20$을 구하는 데 사용.)4.NBT.B.6여러 자리 피제수의 나눗셈 몫 구하기 (전체 금액 $405$를 $3$으로 나누어 공평한 몫 $135$를 구하는 데 사용.)4.OA.A.3네 가지 연산을 사용해 여러 단계 문장제 해결하기 (각 사람을 장부 한 줄로 바꾸어 $t$와 $d$를 구하고, 새미의 장부도 $135$에서 닫히는지 확인하는 데 사용.)
⭐ 함께 쓴 돈을 정산할 때는 전체를 구하고 사람 수로 나눈 뒤, 각자 이미 낸 금액과 그 몫 사이의 거리만큼 내면 된다. 그리고 돈을 받는 사람도 그 몫에 정확히 도달하는지 확인해야 한다.
⭐ 함께 쓴 돈을 정산할 때는 전체를 구하고 사람 수로 나눈 뒤, 각자 이미 낸 금액과 그 몫 사이의 거리만큼 내면 된다. 그리고 돈을 받는 사람도 그 몫에 정확히 도달하는지 확인해야 한다.
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