AMC 10 · 2013 · #1

쉬운 모드 학년 5

문제

$2+4+6$ 을 분자에, $1+3+5$ 을 분모에 놓아 분수 하나를 만든다. 두 번째 분수는 두 합을 서로 바꾸어, $1+3+5$ 을 분자에, $2+4+6$ 을 분모에 놓는다. 첫 번째 분수에서 두 번째 분수를 뺀다. 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1

(B)

$\frac{5}{36}$

(C)

$\frac{7}{12}$

(D)

$\frac{49}{20}$

(E)

$\frac{43}{3}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 각 묶음의 수를 더해 두 분수 $\dfrac{2+4+6}{1+3+5}$ 와 $\dfrac{1+3+5}{2+4+6}$ 를 만든 뒤, 앞의 분수에서 뒤의 분수를 뺀다.

주어진 것: 식 $\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6}$; 위 묶음: $2+4+6$. 아래 묶음: $1+3+5$; 선택지: (A) $-1$, (B) $\dfrac{5}{36}$, (C) $\dfrac{7}{12}$, (D) $\dfrac{49}{20}$, (E) $\dfrac{43}{3}$

구하는 것: 이 식 전체가 나타내는 하나의 수

이해

문제 재정리: 각 묶음의 수를 더해 두 분수 $\dfrac{2+4+6}{1+3+5}$ 와 $\dfrac{1+3+5}{2+4+6}$ 를 만든 뒤, 앞의 분수에서 뒤의 분수를 뺀다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

이 식은 작은 조각으로 이루어져 있어서, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 세 가지 쉬운 일로 나눈다: 각 묶음을 더하고, 두 분수를 약분하고, 마지막으로 뺀다. 도구 #3 (가능성 지우기)는 문제의 모양을 안전장치로 쓴다 — 앞 분수는 1보다 크고 뒤 분수는 1보다 작으므로 그 차는 작은 양수다. 그래서 음수인 (A)와 큰 값인 (D), (E)는 자세한 계산 전에 이미 지워진다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 1

각 묶음의 수를 더하기

반복해서 나오는 두 합을 계산한다.
위 묶음은 $2+4+6=12$, 아래 묶음은 $1+3+5=9$ 이다.
그러면 식은 $\dfrac{12}{9}-\dfrac{9}{12}$ 가 된다.
같은 두 수 $12$ 와 $9$ 가 두 분수에서 자리만 바꿔 나온다.

$$2+4+6 = 12,\quad 1+3+5 = 9 \;\Rightarrow\; \dfrac{12}{9}-\dfrac{9}{12}$$

💡 반복되는 덧셈을 한 번만 해 두면 복잡해 보이던 식이 평범한 두 분수로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.1 단계 2

각 분수를 약분하기

빼기를 쉽게 하려고 약분한다.
$\dfrac{12}{9}$ 의 위아래를 $3$ 으로 나누면 $\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{9}{12}$ 의 위아래를 $3$ 으로 나누면 $\dfrac{3}{4}$ 이다.
이제 식은 $\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}$ 이고, 두 분수는 서로 뒤집은 꼴이다.

$$\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3},\quad \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; \dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}$$

💡 위아래를 같은 수로 나누면 분수의 값은 그대로면서 숫자만 작아진다.

#3 가능성 지우기 5.NF.A.1 단계 3

공통분모로 빼기

$\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}$ 를 빼려면 두 분수를 공통분모 $12$ 로 고쳐 쓴다: $\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{12}$, $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$.
이제 분자끼리 빼면 $\dfrac{16}{12}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{7}{12}$ 이다.
이미 기약분수이고 선택지 (C)와 같다.
앞의 크기 확인으로 (A), (D), (E)는 이미 지워졌다.

$$\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{16}{12}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{7}{12}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 분수는 조각의 크기가 같아야 뺄 수 있으므로 먼저 분모를 맞춘다.

[1] #7 2.NBT.B.5 반복해서 나오는 두 합을 계산한다. 위 묶음은 $2+4+6=12$, 아래 묶음은 $1+3+5=9$ 이다. 그러면 식은 $\dfrac{12}{9}

[2] #7 4.NF.A.1 빼기를 쉽게 하려고 약분한다. $\dfrac{12}{9}$ 의 위아래를 $3$ 으로 나누면 $\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{9}{12

[3] #3 5.NF.A.1 $\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}$ 를 빼려면 두 분수를 공통분모 $12$ 로 고쳐 쓴다: $\dfrac{4}{3}=\dfrac{

검토

합리성 확인: 앞 분수 $\tfrac43\approx1.33$ 은 $1$ 보다 조금 크고 뒤 분수 $\tfrac34=0.75$ 는 $1$ 보다 조금 작으므로, 그 차는 $0.5$ 근처의 작은 양수여야 한다. 결과 $\tfrac{7}{12}\approx0.58$ 이 딱 들어맞는다. 더 큰 분수가 앞에 있으니 (A) 같은 음수는 불가능하고, 큰 값인 (D) $2.45$ 와 (E) $\approx14.3$ 은 너무 크다.

대안 접근: 소수로 확인한다. $\tfrac{12}{9}=1.\overline{3}$, $\tfrac{9}{12}=0.75$ 이므로 $1.333\ldots-0.75=0.583\ldots$ 이다. 선택지와 비교하면 $\tfrac{7}{12}=0.58\overline{3}$ 이 일치하고, $\tfrac{5}{36}\approx0.14$ 와 $\tfrac{49}{20}=2.45$ 는 아니므로 (C)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (각 묶음을 더하기: $2+4+6=12$, $1+3+5=9$.)
4.NF.A.1 Explain why a fraction is equivalent to another fraction (위아래를 $3$ 으로 나눠 $\dfrac{12}{9}$ 를 $\dfrac{4}{3}$ 로, $\dfrac{9}{12}$ 를 $\dfrac{3}{4}$ 로 약분하기.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (공통분모 $12$ 로 $\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{16}{12}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{7}{12}$ 계산하기.)

⭐ 반복되는 묶음을 먼저 더한 뒤 두 분수를 공통분모로 빼면 된다 — 1보다 큰 분수에서 1보다 작은 분수를 빼면 작은 양수가 남는다.