경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2011B · #1

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

order-of-operationsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

이 식은

\frac{2+4+6}{1+3+5}

에서

\frac{1+3+5}{2+4+6}

를 뺀 것으로, 두 분수는 서로 역수입니다. 이 식 전체의 값은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1

(B)

$\frac{5}{36}$

(C)

$\frac{7}{12}$

(D)

$\frac{147}{60}$

(E)

$\frac{43}{3}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 작은 일이 여러 개 쌓여 있으므로 — 합 두 개, 분수 두 개, 뺄셈 하나 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리합니다: 수를 더하고, 각 분수를 만들어 약분하고, 그다음 뺍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검을 해 줍니다: 더 큰 분수(4/3)가 먼저 오고 더 작은 분수(3/4)를 빼므로 결과는 양수이지만 작습니다 — 그것만으로 음수 (A)와 큰 값 (D), (E)가 지워집니다.

1STEP 1

짝수와 홀수 더하기

먼저 더미를 더합니다: 짝수는 12, 홀수는 9 이므로 모든 합을 그 값으로 바꿔 쓸 수 있습니다.

2+4+6 = 12, 1+3+5 = 9

2STEP 2

두 분수를 만들고 약분하기

이제 식은 $\frac{12}{9}-\frac{9}{12}$ 이고, 3으로 약분하면 $\frac{4}{3}$ 와 $\frac{3}{4}$ — 서로 역수입니다.

12/9 = 4/3, 9/12 = 3/4

3STEP 3

공통분모로 빼기

공통분모 12로 고치면 $\frac{16}{12}-\frac{9}{12}$ 이고, 분자끼리 빼면 16-9=7 이므로 값은 $\frac{7}{12}$ , 선택지 (C).

4/3 - 3/4 = 16/12 - 9/12 = 7/12 → (C)

정답

7/12

이 식은

x=\frac{4}{3}

일 때

x-\frac{1}{x}

형태이며

x

는 1 보다 조금 큽니다. 어떤 수에서 그보다 조금 작은 그 역수를 빼면 작은 양수가 나오므로 답이 0과 1 사이인 것이 정확히 맞습니다 —

\frac{7}{12}\approx 0.58

이 들어맞습니다. 이는 음수 (A), 2 보다 큰 (D), 아주 큰 (E)를 곧바로 지우며,

\frac{5}{36}\approx 0.14

(B)는 너무 작습니다.

💡핵심 정리

각 작은 더미를 먼저 하나의 수로 더하고, 분수를 약분한 뒤, 분모를 맞추고 나서 빼세요.

짝수와 홀수 더하기
두 분수를 만들고 약분하기
공통분모로 빼기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

짝수와 홀수 더하기

두 분수를 만들고 약분하기

공통분모로 빼기

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