AMC 10 · 2011 · #1

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

order-of-operationsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

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문제

다음 식의 값은 얼마인가? $\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6} ?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1

(B)

$\frac{5}{36}$

(C)

$\frac{7}{12}$

(D)

$\frac{147}{60}$

(E)

$\frac{43}{3}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6}$ 의 값을 구하세요. 이는 서로 역수인 두 작은 분수로 이루어진 하나의 식입니다.

주어진 것: 첫 번째 분수는 분자에 짝수 합 $2+4+6$, 분모에 홀수 합 $1+3+5$ 이 있음; 두 번째 분수는 같은 두 합을 뒤집은 것: $1+3+5$ 를 $2+4+6$ 으로 나눈 것; 선택지: (A) $-1$, (B) $\dfrac{5}{36}$, (C) $\dfrac{7}{12}$, (D) $\dfrac{147}{60}$, (E) $\dfrac{43}{3}$

구하는 것: 식 전체가 같아지는 하나의 값

이해

문제 재정리: $\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6}$ 의 값을 구하세요. 이는 서로 역수인 두 작은 분수로 이루어진 하나의 식입니다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

이 식은 작은 일이 여러 개 쌓여 있으므로 — 합 두 개, 분수 두 개, 뺄셈 하나 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리합니다: 수를 더하고, 각 분수를 만들어 약분하고, 그다음 뺍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검을 해 줍니다: 더 큰 분수($\tfrac43$)가 먼저 오고 더 작은 분수($\tfrac34$)를 빼므로 결과는 양수이지만 작습니다 — 그것만으로 음수 (A)와 큰 값 (D), (E)가 지워집니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 1

짝수와 홀수 더하기

먼저 네 개의 작은 합을 처리합니다.
짝수는 $2+4+6=12$, 홀수는 $1+3+5=9$ 입니다.
이 두 수가 문제의 전부이므로 모든 합을 그 값으로 바꿔 씁니다.

$$2+4+6 = 12, \qquad 1+3+5 = 9$$

💡 각 수 더미를 먼저 하나의 수로 바꾸면 분수가 단순하고 읽기 쉬워집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.1 단계 2

두 분수를 만들고 약분하기

이제 식은 $\dfrac{12}{9} - \dfrac{9}{12}$ 입니다.
분자와 분모를 공통 인수로 나눠 각 분수를 약분합니다: $\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$($3$ 으로 나눔), $\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$($3$ 으로 나눔).
두 분수는 서로 역수임에 주목하세요 — 하나가 다른 하나를 뒤집은 것입니다.

$$\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}, \qquad \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$$

💡 분자와 분모를 같은 수로 나누면 분수의 값은 그대로이면서 다루기 쉬운 작은 수가 됩니다.

#3 가능성 지우기 5.NF.A.1 단계 3

공통분모로 빼기

$\dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{4}$ 를 뺍니다.
$3$ 과 $4$ 의 최소공통분모는 $12$ 이므로 $\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{12}$, $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ 로 다시 쓰고 분자를 빼면 $16-9=7$ 입니다.
결과는 $\dfrac{7}{12}$ 로, 예상대로 양수이고 $1$ 보다 작으며 선택지 (C)와 일치합니다.

$$\dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{16}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{7}{12}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 두 분수는 분모가 같아져야 뺄 수 있고, 그다음에는 분자만 빼면 됩니다.

[1] #7 2.NBT.B.5 먼저 네 개의 작은 합을 처리합니다. 짝수는 $2+4+6=12$, 홀수는 $1+3+5=9$ 입니다. 이 두 수가 문제의 전부이므로 모든 합을 그

[2] #7 4.NF.A.1 이제 식은 $\dfrac{12}{9} - \dfrac{9}{12}$ 입니다. 분자와 분모를 공통 인수로 나눠 각 분수를 약분합니다: $\dfra

[3] #3 5.NF.A.1 $\dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{4}$ 를 뺍니다. $3$ 과 $4$ 의 최소공통분모는 $12$ 이므로 $\dfrac{4}{3}=

검토

합리성 확인: 이 식은 $x=\tfrac43$ 일 때 $x - \tfrac1x$ 형태이며 $x$ 는 $1$ 보다 조금 큽니다. 어떤 수에서 그보다 조금 작은 그 역수를 빼면 작은 양수가 나오므로 답이 $0$ 과 $1$ 사이인 것이 정확히 맞습니다 — $\tfrac{7}{12}\approx 0.58$ 이 들어맞습니다. 이는 음수 (A), $2$ 보다 큰 (D), 아주 큰 (E)를 곧바로 지우며, $\tfrac{5}{36}\approx 0.14$ (B)는 너무 작습니다.

대안 접근: 소수로 확인합니다: $\tfrac{12}{9}=1.333\ldots$, $\tfrac{9}{12}=0.75$ 이므로 $1.333\ldots-0.75 = 0.5833\ldots$ 입니다. $\tfrac{7}{12}=0.5833\ldots$ 이 정확히 맞고 다른 선택지는 $0.58$ 근처가 없으므로 답 (C)가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

2.NBT.B.5 100 이내에서 유창하게 더하고 뺀다 (두 합 $2+4+6=12$ 와 $1+3+5=9$ 를 계산하는 데 사용.)
4.NF.A.1 한 분수가 다른 분수와 동치인 이유를 설명한다 (분자와 분모를 $3$ 으로 나눠 $\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$ 로 약분하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}$ 를 공통분모 $12$ 로 다시 써 $\dfrac{7}{12}$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 각 작은 더미를 먼저 하나의 수로 더하고, 분수를 약분한 뒤, 분모를 맞추고 나서 빼세요.