AMC 10 · 2015 · #3

쉬운 모드 학년 4

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문제

앤은 이쑤시개로 계단 모양을 만들었어요. 그림처럼 계단이 $3$ 칸이고 이쑤시개 $18$ 개를 썼어요. 앤은 이 계단을 더 높여서 $5$ 칸으로 만들고 싶어요. 이쑤시개가 몇 개 더 필요할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이쑤시개 18개로 만든 3단 계단이 있다. 이것을 5단 계단으로 만들려면 이쑤시개를 몇 개 더 추가해야 하는지 구한다.

주어진 것: 3단 계단은 이쑤시개 18개로 만들어진다.; 계단은 한 단씩 커지며, 각 단은 이쑤시개 변으로 이루어진다.

구하는 것: 3단 계단에서 5단 계단으로 만들 때 추가로 필요한 이쑤시개의 개수.

이해

문제 재정리: 이쑤시개 18개로 만든 3단 계단이 있다. 이것을 5단 계단으로 만들려면 이쑤시개를 몇 개 더 추가해야 하는지 구한다.

주어진 것: 3단 계단은 이쑤시개 18개로 만들어진다.; 계단은 한 단씩 커지며, 각 단은 이쑤시개 변으로 이루어진다.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

5단 그림 전체를 처음부터 세는 것은 실수하기 쉽다. 대신 한 단씩 커질 때 이쑤시개 총합이 어떻게 늘어나는지 추적한다. 한 계단에서 다음 계단으로 갈 때 늘어나는 양이 일정한 규칙을 따르므로, 그 패턴을 3단에서 5단까지 이어가며 새로 추가되는 것만 더하면 된다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.OA.C.5 단계 1

작은 계단 세기

가장 작은 계단부터 만들며 이쑤시개를 센다.
1단 계단은 정사각형 하나 = 4개.
2단 계단 = 10개.
주어진 3단 계단 = 18개.

1\text{단}=4,\quad 2\text{단}=10,\quad 3\text{단}=18

💡 작은 것부터 시작하면 수가 커지기 전에 늘어나는 모습이 보인다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 2

늘어나는 규칙 찾기

각 계단이 앞 계단보다 얼마나 늘어나는지 본다.
1단에서 2단으로 가면 10 - 4 = 6개가 추가된다.
2단에서 3단으로 가면 18 - 10 = 8개가 추가된다.
추가되는 양은 매번 2씩 커진다.

+6,\ +8,\ \ldots\ (\text{각 증가는 바로 앞보다 } 2 \text{ 더 큼})

💡 새 단은 앞 단보다 넓으므로, 매번 앞보다 이쑤시개가 2개 더 추가된다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

4단과 5단까지 이어가기

증가 패턴을 계속 이어간다.
3단에서 4단으로 가면 8 + 2 = 10개가 추가된다.
4단에서 5단으로 가면 10 + 2 = 12개가 추가된다.

$$3\to4:\ +10,\qquad 4\to5:\ +12$$

💡 원하는 단에 이를 때까지 증가량을 2씩 계속 올린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

두 증가량 더하기

3단 계단에서 5단 계단으로 가려면 두 번의 증가를 모두 거치므로, 두 양을 더한다: 10 + 12 = 22개.
이것이 Ann이 추가해야 하는 이쑤시개 수이므로 답은 (D)이다.

$$10 + 12 = 22$$

💡 두 번의 성장 단계가 쌓이는 것이므로, 추가된 이쑤시개도 서로 더해진다.

[1] #1 4.OA.C.5 가장 작은 계단부터 만들며 이쑤시개를 센다. 1단 계단은 정사각형 하나 = 4개. 2단 계단 = 10개. 주어진 3단 계단 = 18개.

[2] #5 3.OA.D.9 각 계단이 앞 계단보다 얼마나 늘어나는지 본다. 1단에서 2단으로 가면 10 - 4 = 6개가 추가된다. 2단에서 3단으로 가면 18 - 10

[3] #5 4.OA.C.5 증가 패턴을 계속 이어간다. 3단에서 4단으로 가면 8 + 2 = 10개가 추가된다. 4단에서 5단으로 가면 10 + 2 = 12개가 추가된다.

[4] #7 4.NBT.B.4 3단 계단에서 5단 계단으로 가려면 두 번의 증가를 모두 거치므로, 두 양을 더한다: 10 + 12 = 22개. 이것이 Ann이 추가해야 하는

검토

합리성 확인: 직접 세는 방법으로 확인한다. n단 계단은 이쑤시개 (n+1)(n+2) - 2개를 쓰므로, n=3이면 18개, n=5이면 (6)(7) - 2 = 40개이다. 따라서 40 - 18 = 22로 답과 일치한다. 22는 보기 20과 24 사이에 들어맞아 타당하다.

대안 접근: 공식 (n+1)(n+2) - 2를 바로 쓴다. 5단 총합을 40, 3단 총합을 18로 계산한 뒤 빼면, 모든 증가를 나열하지 않고도 22를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (계단 이쑤시개 총합의 수열을 만들고, 도형 패턴을 5단까지 이어가는 데 사용.)
3.OA.D.9 Identify arithmetic patterns and explain using properties of operations (매 증가마다 추가되는 이쑤시개가 일정하게 2씩 늘어남을 알아내는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (두 증가량(10 + 12)을 합치고 총차이 40 - 18로 검산하는 데 사용.)

⭐ 도형이 한 단계씩 커질 때는, 각 단계가 얼마나 더해지는지 보고 새로 생긴 것만 더하면 된다.