AMC 10 · 2017 · #1
쉬운 모드 학년 3쉬운 버전 문제
메리가 두 자리 수를 하나 골랐습니다. 그 수에 3을 곱한 뒤 11을 더했습니다. 나온 답의 두 자리를 서로 바꾸었더니 71부터 75 사이의 수가 되었습니다. 메리가 처음에 고른 수는 무엇일까요?
(A) 11(B) 12(C) 13(D) 14(E) 15
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AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Mary는 양의 두 자리 수를 하나 골라 $3$을 곱하고 $11$을 더했습니다. 그런 다음 그 결과의 두 자리를 서로 바꿨더니 $71$ 이상 $75$ 이하의 수가 되었습니다. Mary가 처음 고른 수를 구하세요.
주어진 것: Mary의 수는 양의 두 자리 수이다; 그 수로 $3 \times (\text{수}) + 11$을 계산한다; 그 결과의 두 자리를 서로 바꾸면 $71$ 이상 $75$ 이하의 수가 된다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$
구하는 것: Mary가 처음 고른 두 자리 수
이해
문제 재정리: Mary는 양의 두 자리 수를 하나 골라 $3$을 곱하고 $11$을 더했습니다. 그런 다음 그 결과의 두 자리를 서로 바꿨더니 $71$ 이상 $75$ 이하의 수가 되었습니다. Mary가 처음 고른 수를 구하세요.
주어진 것: Mary의 수는 양의 두 자리 수이다; 그 수로 $3 \times (\text{수}) + 11$을 계산한다; 그 결과의 두 자리를 서로 바꾸면 $71$ 이상 $75$ 이하의 수가 된다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$
계획
주요 도구: #11 거꾸로 풀기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
과정의 끝(자리를 바꾼 수가 $71$~$75$에 들어옴)이 주어지고 시작(Mary의 수)을 묻고 있으므로, 도구 #11 (거꾸로 풀기)이 딱 맞습니다: 자리를 다시 바꾸고, $+11$을 되돌리고, $\times 3$을 되돌립니다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 살아남은 후보를 정방향으로 돌려 목표 범위에 들어오는지 확인하며 마무리합니다.
실행 — 정답: B
1.NBT.B.2 단계 1 - 자리를 바꾸는 것은 그 자체로 되돌릴 수 있습니다.
- 다시 바꾸면 됩니다.
- 그러므로 Mary가 자리를 바꾸기 전, $3 \times (\text{수}) + 11$의 값은 자리를 바꿨을 때 $71$~$75$가 되는 수였습니다.
- $71, 72, 73, 74, 75$ 각각의 자리를 바꾸면 $3 \times (\text{수}) + 11$이 될 수 있는 값들이 나옵니다.
💡 두 자리 수는 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자일 뿐이라, 자리를 바꾸는 일은 그대로 거꾸로 되돌릴 수 있습니다.
3.OA.C.7 단계 2 - 이제 각 후보에 대해 두 연산을 되돌립니다: $11$을 빼고, $3$으로 나눕니다.
- 올바른 시작값은 자연수인 두 자리 수여야 합니다.
- $47$만 맞습니다: $47 - 11 = 36$, $36 \div 3 = 12$.
- 나머지는 실패합니다 — $17{\to}6{\to}2$는 한 자리이고, $27, 37, 57$에서 $11$을 빼면 $16, 26, 46$인데 어느 것도 $3$으로 나누어떨어지지 않습니다.
💡 "$3$을 곱한 뒤 $11$을 더하기"를 되돌리려면 연산을 반대 순서로 벗겨냅니다. 먼저 빼고, 그다음 나눕니다.
3.NBT.A.2 단계 3 - $12$를 정방향으로 돌려 확인합니다: $3$배 하고, $11$을 더하고, 자리를 바꿉니다.
- 결과는 $74$로 $71$~$75$ 안에 들어오므로 $12$가 Mary의 수이고 답은 (B)입니다.
💡 유일하게 살아남은 후보를 원래 과정에 그대로 넣어 보는 것이 실수가 없었는지 가장 빠르게 확인하는 방법입니다.
1.NBT.B.2 자리를 바꾸는 것은 그 자체로 되돌릴 수 있습니다. 다시 바꾸면 됩니다. 그러므로 Mary가 자리를 바꾸기 전, $3 \times (\text{ 3.OA.C.7 이제 각 후보에 대해 두 연산을 되돌립니다: $11$을 빼고, $3$으로 나눕니다. 올바른 시작값은 자연수인 두 자리 수여야 합니다. $47$만 3.NBT.A.2 $12$를 정방향으로 돌려 확인합니다: $3$배 하고, $11$을 더하고, 자리를 바꿉니다. 결과는 $74$로 $71$~$75$ 안에 들어오므로 검토
합리성 확인: 정방향 확인이 완벽합니다: $12 \to 36 \to 47 \to 74$이고 $71 \le 74 \le 75$. 다른 모든 선택지는 거꾸로 푸는 단계에서 $3$으로 나누어떨어지는지 검사를 통과하지 못하므로 $12$가 유일한 답이며, (B)와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기)만으로도 풀 수 있습니다: 다섯 선택지를 그냥 시험합니다. $11 \to 44 \to 44$, $12 \to 47 \to 74$, $13 \to 50 \to 05$, $14 \to 53 \to 35$, $15 \to 56 \to 65$. 자리를 바꾼 수가 $71$~$75$에 들어오는 것은 $12$뿐이므로 (B)가 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
1.NBT.B.2Understand that the two digits of a two-digit number represent tens and ones (두 자리 수를 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자로 보고 자리를 바꾸고, 다시 바꾸는 데 사용.)3.OA.C.7Fluently multiply and divide within 100 ($3$으로 나누어 $\times 3$을 되돌리고(나누어떨어지는지 검사 포함), 정방향 확인에서 후보를 $3$배 하는 데 사용.)3.NBT.A.2Fluently add and subtract within 1000 ($11$을 빼서 $+11$을 되돌리고, 정방향으로 확인할 때 $11$을 더하는 데 사용.)
⭐ 문제가 결과를 주고 시작을 물으면, 각 단계를 반대 순서로 되돌리세요. 나누기보다 빼기를 먼저 하면 됩니다.
⭐ 문제가 결과를 주고 시작을 물으면, 각 단계를 반대 순서로 되돌리세요. 나누기보다 빼기를 먼저 하면 됩니다.
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