AMC 10 · 2019 · #3

쉬운 모드 학년 4

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문제

Ana와 Bonita는 생일은 같지만 태어난 해가 달라요. Ana가 더 언니입니다. 두 사람의 나이 차이는 $n$ 살이고, 이 차이는 시간이 지나도 변하지 않아요.

작년에 Ana의 나이는 Bonita 나이의 정확히 $5$ 배였습니다.

올해 Ana의 나이는 Bonita의 나이를 자기 자신과 곱한 값과 같습니다. (예를 들어 Bonita가 올해 $4$ 살이면, Ana는 $4 \times 4 = 16$ 살이 됩니다.)

두 사람의 나이 차이 $n$ 은 몇 살일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 아나(Ana)와 보니타(Bonita)는 같은 날 다른 해에 태어났고 아나가 $n$ 살 더 많습니다. 작년에 아나의 나이는 보니타의 $5$ 배였고, 올해 아나의 나이는 보니타의 나이의 제곱입니다. 나이 차이 $n$ 을 구하세요.

주어진 것: 아나와 보니타의 나이 차이는 항상 $n$ 살로 일정; 작년: 아나의 나이 $=$ 보니타의 나이 $\times 5$; 올해: 아나의 나이 $=$ 보니타의 나이의 제곱; 선택지: (A) $3$, (B) $5$, (C) $9$, (D) $12$, (E) $15$

구하는 것: 나이 차이 $n$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #6(추측하고 확인): 올해 아나의 나이는 완전제곱수 — 작은 제곱수 ($1, 4, 9, 16, 25, \ldots$)를 차례로 시도하고 보니타는 그 제곱근. 각 후보를 '작년에 아나가 보니타의 $5$ 배' 규칙에 맞춰 확인. 도구 #5(패턴): $A$, $B$ 가 정해지면 $n = A - B$ 자동 결정. 도구 #3(가능성 지우기): 작년 규칙 $A - 1 = 5(B - 1)$ 에서 $A - B = 4(B - 1)$ — 즉 $n$ 은 반드시 $4$의 배수. 선택지 중 (D) $12$만 $4$의 배수 — 즉시 답이 보입니다.

실행 — 정답: D

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 1

완전제곱수 나열하기

작은 완전제곱수를 차례로 나열 — 이 값들이 올해 아나의 나이 후보.
제곱근이 보니타의 나이: $A = 1 \Rightarrow B = 1$, $A = 4 \Rightarrow B = 2$, $A = 9 \Rightarrow B = 3$, $A = 16 \Rightarrow B = 4$, $A = 25 \Rightarrow B = 5$.

$A = B^2$ 후보: $(A, B) = (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), \ldots$

💡 아나의 나이는 완전제곱수 — 순서대로 시도.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.3 단계 2

후보 나이 검사하기

각 후보를 작년 규칙 $A - 1 = 5(B - 1)$에 넣어 확인.
$(16, 4)$: $A - 1 = 15$, $5(B - 1) = 5 \cdot 3 = 15$ — 일치!
(다른 후보는 실패: $(1, 1)$은 $0 = 0$ 이지만 보니타가 아직 태어나지 않은 셈; $(4, 2)$는 $3 \ne 5$; $(9, 3)$은 $8 \ne 10$; $(25, 5)$는 $24 \ne 20$.)

$$(A, B) = (16, 4):\ A - 1 = 15,\ 5(B - 1) = 5 \cdot 3 = 15\ \checkmark$$

💡 각 쌍을 '작년' 식에 넣어 맞아 떨어지는 데서 멈춤.

#6 추측하고 확인하기 1.OA.A.1 단계 3

나이 차 구하기

아나 $= 16$, 보니타 $= 4$ 이므로 나이 차이는 $n = 16 - 4 = 12$.
선택지 (D)와 일치.

$$n = A - B = 16 - 4 = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 아나에서 보니타를 빼면 항상 같은 나이 차이.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

배수로 다시 확인하기

배수 성질로 한 번 더 확인.
작년 규칙 $A - 1 = 5(B - 1)$를 정리하면 $A - B = 4(B - 1)$, 따라서 $n$ 은 반드시 $4$의 배수.
선택지 중 $12$만 $4$의 배수 — (A) $3$, (B) $5$, (C) $9$, (E) $15$는 모두 $4$로 나누어떨어지지 않아 탈락.

$A - 1 = 5(B - 1) \;\Rightarrow\; A - B = 4(B - 1) \;\Rightarrow\; 4 \mid n;$ $12 = 4 \cdot 3$만 통과 $\;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$

💡 나이를 직접 안 구해도 '$4$의 배수' 조건만으로 (D)가 바로 골라집니다.

[1] #6 3.OA.C.7 작은 완전제곱수를 차례로 나열 — 이 값들이 올해 아나의 나이 후보. 제곱근이 보니타의 나이: $A = 1 \Rightarrow B = 1$,

[2] #6 3.OA.A.3 각 후보를 작년 규칙 $A - 1 = 5(B - 1)$에 넣어 확인. $(16, 4)$: $A - 1 = 15$, $5(B - 1) = 5 \c

[3] #6 1.OA.A.1 아나 $= 16$, 보니타 $= 4$ 이므로 나이 차이는 $n = 16 - 4 = 12$. 선택지 (D)와 일치.

[4] #3 4.OA.B.4 배수 성질로 한 번 더 확인. 작년 규칙 $A - 1 = 5(B - 1)$를 정리하면 $A - B = 4(B - 1)$, 따라서 $n$ 은 반드

검토

합리성 확인: 아나 $= 16$, 보니타 $= 4$로 두 단서를 모두 확인. 작년: 아나 $15$, 보니타 $3$, $15 = 5 \cdot 3$ — 맞음. 올해: 아나 $16 = 4^2$, 보니타의 나이의 제곱 — 맞음. 나이 차이는 매년 $12$로 일정. 모두 일치하므로 $n = 12$가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수): $A = B^2$, $A - 1 = 5(B - 1)$을 대입하면 $B^2 - 1 = 5B - 5$, $(B - 1)(B + 1) = 5(B - 1)$, $B \ne 1$ 이므로 양변을 $B - 1$로 나눠 $B + 1 = 5$, 즉 $B = 4$, $A = 16$, $n = 12$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

1.OA.A.1 20 이내 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 (나이 차이 $n = A - B = 16 - 4 = 12$ 계산.)
3.OA.A.3 100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 ('작년에 $5$ 배' 규칙을 $5 \cdot 3 = 15$로 확인.)
3.OA.C.7 100 이내 곱셈·나눗셈 능숙하게 (아나의 나이 후보로 완전제곱수 $1, 4, 9, 16, 25$ 나열.)
4.OA.B.4 모든 인수쌍과 배수를 찾고 소수·합성수 판별 ($A - B = 4(B - 1)$ 에서 $n$ 이 $4$의 배수임을 인식해 다른 네 선택지 제거.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "인수와 배수" 만 알면 풀 수 있어요 — 아나의 나이는 완전제곱수, 나이 차는 $4$의 배수 — 그래서 $16$과 $4$, 차이는 $12$ 예요!