AMC 10 · 2022 · #3

쉬운 모드 학년 4

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문제

$100$ 부터 $999$ 까지의 세 자리 수를 모두 생각해봅시다.

이 수들은 각각 세 개의 자릿수로 이루어져 있어요. 자릿수 중에는 짝수(0, 2, 4, 6, 8)도 있고, 홀수(1, 3, 5, 7, 9)도 있습니다.

각 수에서 짝수 자릿수가 몇 개 있는지 세어봅시다. 우리가 찾고 싶은 수는, 그 개수가 홀수인 수예요. 즉 짝수 자릿수가 정확히 한 개이거나, 정확히 세 개인 수입니다.

이런 세 자리 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

150

(B)

250

(C)

350

(D)

450

(E)

550

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 자리 수($100$부터 $999$) 중에서 짝수 자릿수의 개수가 홀수인 것은 몇 개? 각 자릿수는 짝수($\{0, 2, 4, 6, 8\}$) 또는 홀수($\{1, 3, 5, 7, 9\}$). "짝수 자릿수의 개수가 홀수" 는 정확히 $1$ 개이거나 정확히 $3$ 개인 경우.

주어진 것: 범위: 세 자리 양의 정수, $100 \le n \le 999$; 짝수 자릿수 집합 $E = \{0, 2, 4, 6, 8\}$, $|E| = 5$; 홀수 자릿수 집합 $O = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $|O| = 5$; 백의 자리는 $0$이 될 수 없음; "짝수 자릿수의 개수가 홀수" = 짝수 자릿수가 정확히 $1$ 개 또는 $3$ 개; 선택지: (A) $150$, (B) $250$, (C) $350$, (D) $450$, (E) $550$

구하는 것: 짝수 자릿수의 개수가 홀수인 세 자리 정수의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

"몇 개" 를 묻는 전형적인 경우의 수 문제. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 짝수가 어느 자리에 오는지에 따라 패턴을 나열. 그 패턴들을 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 경우로 묶기 — 경우 A: 짝수 자릿수 정확히 $1$ 개(EOO, OEO, OOE); 경우 B: 세 개 모두 짝수(EEE). 각 패턴에서 "백의 자리 ≠ 0" 을 기억하며 곱의 법칙. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망 — 답은 $900$ 미만이고 선택지 다섯 개 중 하나여야 합니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 1

자리별 숫자 개수 세기

각 자리의 선택지 수를 정리.
백의 자리(H)는 $1$~$9$ 중 하나로 $9$ 가지; 십의 자리(T)와 일의 자리(U)는 $0$~$9$로 각각 $10$ 가지.
짝/홀로 다시 쪼개면 H-짝 $\in \{2,4,6,8\}$ ($4$ 가지), H-홀 $\in \{1,3,5,7,9\}$ ($5$ 가지).
T 와 U 는 짝수 $5$, 홀수 $5$.

$$\text{H-짝} = 4, \; \text{H-홀} = 5, \quad \text{T-짝} = \text{U-짝} = 5, \; \text{T-홀} = \text{U-홀} = 5$$

💡 각 자리마다 짝/홀 선택지 수를 적어두는 정리 — 4학년 "여러 단계 문제 풀이" 의 기본 정리표.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.3 단계 2

짝수 한 개인 경우 세기

경우 A — 짝수 자릿수가 정확히 $1$ 개.
세 패턴을 나열하고 자리별 선택지를 곱하기.
EOO: $\text{H-짝} \cdot \text{T-홀} \cdot \text{U-홀} = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$.
OEO: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
OOE: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

$$\text{EOO} = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100, \; \text{OEO} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125, \; \text{OOE} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$$

💡 자리별 선택지 수를 곱하는 곱의 법칙 — 3학년 "곱셈 문장제". 백의 자리는 $0$이 빠져 짝수 선택이 $5$ 에서 $4$로 줄어듭니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 3

세 가지 배열 더하기

경우 A 의 세 패턴을 더해 "짝 $1$ 개" 소계.

$$100 + 125 + 125 = 350$$

💡 세 소계의 합 — 3학년 "$1000$ 이내 능숙한 덧셈".

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.3 단계 4

모두 짝수인 경우 세기

경우 B — 세 자리 모두 짝수(EEE).
백-짝 $4$, 십-짝 $5$, 일-짝 $5$.

$$\text{EEE} = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$$

💡 같은 곱의 법칙. 제한이 걸린 자리는 백의 자리 하나뿐.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 5

두 경우 더하기

경우 A 와 경우 B 를 더해 최종 개수.

$$350 + 100 = 450 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 겹치지 않는 두 경우를 합치는 마무리 — 4학년 "사칙연산 여러 단계 문제".

[1] #2 4.OA.A.3 각 자리의 선택지 수를 정리. 백의 자리(H)는 $1$~$9$ 중 하나로 $9$ 가지; 십의 자리(T)와 일의 자리(U)는 $0$~$9$로 각각

[2] #2 3.OA.A.3 경우 A — 짝수 자릿수가 정확히 $1$ 개. 세 패턴을 나열하고 자리별 선택지를 곱하기. EOO: $\text{H-짝} \cdot \text{

[3] #7 3.NBT.A.2 경우 A 의 세 패턴을 더해 "짝 $1$ 개" 소계.

[4] #2 3.OA.A.3 경우 B — 세 자리 모두 짝수(EEE). 백-짝 $4$, 십-짝 $5$, 일-짝 $5$.

[5] #7 4.OA.A.3 경우 A 와 경우 B 를 더해 최종 개수.

검토

합리성 확인: 대칭으로 검산. 세 자리 수 전체는 $900$ 개. 각 수의 "짝 자릿수 개수" 는 $0, 1, 2, 3$ 중 하나. "짝 개수가 짝수" 쪽도 계산해 봅니다 — $0$ 개(OOO) $= 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, $2$ 개(EEO + EOE + OEE) $= 100 + 100 + 125 = 325$. 합 $= 450$. "짝 개수가 홀수" 쪽은 $900 - 450 = 450$ — 정확히 (D). $900$이 두 진영으로 반씩 깔끔하게 나뉘었습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기) — 보수 세기. 짝 자릿수 개수가 "짝수" ($0$ 또는 $2$)인 세 자리 수를 셉니다. $0$ 개 = OOO = $125$; $2$ 개 = EEO+EOE+OEE = $100+100+125 = 325$. 합 $= 450$. 전체에서 빼면 $900 - 450 = 450$. 같은 답 (D) — 두 쪽이 정확히 같다는 점도 추가 통찰.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.NBT.A.2 $1000$ 이내 능숙한 덧셈·뺄셈 (각 경우의 소계 $100 + 125 + 125$, $350 + 100$를 합산하는 데 사용.)
3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 (각 세 자리 패턴에 곱의 법칙($4 \times 5 \times 5$, $5 \times 5 \times 5$ 등)을 적용하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 활용한 여러 단계 문장제 풀이 (경우를 짝 $1$ 개와 짝 $3$ 개로 나누고 각각 계산해 합치는 전체 흐름에 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "경우를 정리하고 자리별 선택지를 곱한 뒤 더하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 짝 $1$ 개는 $350$ 개, 짝 $3$ 개는 $100$ 개, 합쳐 $450$.