AMC 10 · 2022 · #4

쉬운 모드 학년 4

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문제

어느 당나귀가 오후 $4:00$ 에 딸꾹질을 시작했어요. 첫 번째 딸꾹질이 정확히 $4:00$ 에 나왔습니다.

그 다음부터는 $5$ 초마다 한 번씩 규칙적으로 딸꾹질이 나옵니다. 그러니까 두 번째 딸꾹질은 $4:00$ 에서 $5$ 초 후, 세 번째 딸꾹질은 $4:00$ 에서 $10$ 초 후에 나오는 식이에요.

$700$ 번째 딸꾹질은 몇 시 몇 분 몇 초에 나올까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$15 \text{ seconds after } 4:58$

(B)

$20 \text{ seconds after } 4:58$

(C)

$25 \text{ seconds after } 4:58$

(D)

$30 \text{ seconds after } 4:58$

(E)

$35 \text{ seconds after } 4:58$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 당나귀의 첫 딸꾹질이 오후 $4{:}00$ 정각에 일어나고, 그 뒤로 $5$ 초마다 한 번씩 규칙적으로 딸꾹질합니다. $700$ 번째 딸꾹질이 일어나는 시각(시계 위 분·초)을 구합니다.

주어진 것: $1$ 번째 딸꾹질: $4{:}00{:}00$ PM; 딸꾹질 간격은 정확히 $5$ 초; $700$ 번째 딸꾹질의 시각을 구함; 선택지: (A) $4{:}58$의 $15$ 초 뒤, (B) $20$ 초 뒤, (C) $25$ 초 뒤, (D) $30$ 초 뒤, (E) $35$ 초 뒤

구하는 것: $700$ 번째 딸꾹질의 시각 ($4{:}00$ 으로부터 몇 분 몇 초)

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #8 단위 살펴보기

$700$ 번째를 바로 떠올리기는 막막. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $n = 2, 3, 4$부터 시도해 "딸꾹질 번호"와 "경과 초"의 관계를 찾습니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 그 규칙을 명시화 — $n$ 번째 딸꾹질은 $4{:}00$ 으로부터 $5(n - 1)$ 초 뒤. 마지막은 도구 #8(단위 살펴보기)이 총 초를 분·초로 바꿔 시계 시각으로 마무리.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

작은 경우 시험해 보기

작은 경우로 규칙 만들기.
$1$ 번째는 $4{:}00$ 에서 $0$ 초 뒤 — 아직 간격 없음.
$2$ 번째는 한 간격 뒤($5$ 초).
$3$ 번째는 두 간격 뒤($10$ 초).
$4$ 번째는 세 간격 뒤($15$ 초).

$$n=1 \to 0\text{ 초}, \; n=2 \to 5\text{ 초}, \; n=3 \to 10\text{ 초}, \; n=4 \to 15\text{ 초}$$

💡 세 경우면 "경과 초 $= 5 \cdot (\text{딸꾹질 번호} - 1)$" 라는 규칙이 드러납니다 — 4학년 "규칙으로 패턴 생성하기".

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

간격 개수 세기

$n = 700$에 적용.
$1$ 번째와 $700$ 번째 사이의 간격 수는 $700 - 1 = 699$.

$$\text{간격 수} = 700 - 1 = 699$$

💡 말뚝 $n$ 개 사이에 울타리 칸은 $n - 1$ 개 — 같은 원리가 딸꾹질과 그 사이 간격에도 적용.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 3

간격 수에 5 곱하기

간격 수 × 한 간격의 초 = 전체 경과 초.

$$699 \times 5 = 3495 \text{ 초}$$

💡 $699 \times 5 = (700 - 1) \times 5 = 3500 - 5 = 3495$ — 4학년 "여러 자릿수 × 한 자릿수".

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.1 단계 4

초를 분으로 바꾸기

$60$ 초 $= 1$ 분 으로 $3495$ 초를 분과 나머지 초로 환산.

$$3495 \div 60 = 58 \text{ 나머지 } 15 \;\Rightarrow\; 58\text{ 분 } 15\text{ 초}$$

💡 작은 단위를 큰 단위로 환산 — 4학년 "측정 단위 사이의 상대적 크기". $60 \times 58 = 3480$, $3495 - 3480 = 15$.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 5

시작 시각에 더하기

$4{:}00{:}00$에 경과 시간을 더하면 $4{:}58{:}15$ — $4{:}58$의 $15$ 초 뒤, 선택지 (A).

$$4{:}00{:}00 + 58\text{ 분 } 15\text{ 초} = 4{:}58{:}15 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 시계 시각에 분·초를 더하기 — 4학년 "거리·시간·돈 문장제".

[1] #9 4.OA.C.5 작은 경우로 규칙 만들기. $1$ 번째는 $4{:}00$ 에서 $0$ 초 뒤 — 아직 간격 없음. $2$ 번째는 한 간격 뒤($5$ 초). $3

[2] #5 4.OA.C.5 $n = 700$에 적용. $1$ 번째와 $700$ 번째 사이의 간격 수는 $700 - 1 = 699$.

[3] #9 4.NBT.B.5 간격 수 × 한 간격의 초 = 전체 경과 초.

[4] #8 4.MD.A.1 $60$ 초 $= 1$ 분 으로 $3495$ 초를 분과 나머지 초로 환산.

[5] #8 4.MD.A.2 $4{:}00{:}00$에 경과 시간을 더하면 $4{:}58{:}15$ — $4{:}58$의 $15$ 초 뒤, 선택지 (A).

검토

합리성 확인: 자릿수 어림 검산. $5$ 초마다 한 번씩 $700$ 번이면 대략 $700 \times 5 = 3500$ 초 — 한 시간($3600$ 초)에 살짝 못 미침. $4{:}00$ 에서 시작했으니 $5{:}00$ 직전, $4{:}58$ 부근에 떨어집니다. 계산값 $4{:}58{:}15$와 일치. 또 "말뚝-울타리" 보정($700$이 아닌 $699$)이 $5$ 초를 줄여줘서 답이 $4{:}58$의 $20$ 초가 아닌 $15$ 초 뒤 — 그래서 (B)가 아닌 (A).

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기). $n$ 번째 딸꾹질이 $4{:}00$ 으로부터 $t_n$ 초 뒤라 하면 $t_n = 5(n - 1)$. $n = 700$ 대입: $t_{700} = 5 \cdot 699 = 3495$ 초. $3495 = 58 \cdot 60 + 15$. 같은 답이지만 식이 더 명시적.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 생성 ($n = 1, 2, 3, 4$의 작은 경우에서 "경과 초 $= 5(n - 1)$" 규칙을 만드는 데 사용.)
4.NBT.B.5 여러 자릿수 × 한 자릿수 곱셈 (전체 경과 초 $699 \times 5 = 3495$를 구하는 데 사용.)
4.MD.A.1 측정 단위의 상대적 크기 알기 (큰 단위 → 작은 단위) ($1\text{ 분} = 60\text{ 초}$로 $3495$ 초를 $58$ 분 $15$ 초로 환산하는 데 사용.)
4.MD.A.2 거리·시간·부피·돈 관련 문장제 풀기 (시작 시각 $4{:}00{:}00$에 $58$ 분 $15$ 초를 더해 $4{:}58{:}15$를 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "$n$ 번 일어나는 일에는 그 사이가 $n-1$ 칸" 만 알면 풀 수 있어요 — $699 \times 5 = 3495$ 초 $= 58$ 분 $15$ 초, 그래서 $4{:}58{:}15$에 700 번째 딸꾹질!