AMC 8 · 1999 · #9

쉬운 모드 학년 4

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문제

화단 A, B, C 세 개가 있어요. 어떤 부분은 서로 겹쳐 있어요. (그림에서 화단 A는 한쪽에서 B와 겹치고, 다른 쪽에서 C와 겹쳐요. B와 C는 서로 닿지 않아요.)

각 화단에 있는 식물의 수는 다음과 같아요:

A에는 식물이 500그루 있어요.
B에는 식물이 450그루 있어요.
C에는 식물이 350그루 있어요.

겹치는 부분에 있는 식물은 두 번 세어집니다:

A와 B 모두에 속하는 식물은 50그루예요.
A와 C 모두에 속하는 식물은 100그루예요.

전체 식물은 모두 몇 그루일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

850

(B)

1000

(C)

1150

(D)

1300

(E)

1450

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 개의 화단 $A$, $B$, $C$ 가 그림처럼 겹쳐 있습니다. 화단 $A$ 에는 식물 $500$ 그루, $B$ 에는 $450$ 그루, $C$ 에는 $350$ 그루가 있습니다. 화단 $A$ 와 $B$ 는 $50$ 그루를 공유하고, $A$ 와 $C$ 는 $100$ 그루를 공유하며, 그림상 $B$ 와 $C$ 는 닿지 않습니다. 식물은 모두 몇 그루일까요?

구하는 것: 세 화단에 있는 서로 다른 식물의 총 수 $|A \cup B \cup C|$

이해

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

주어진 그림 자체가 이미 벤 다이어그램입니다 — $A$, $B$, $C$ 영역이 있고 $A$ 가 $B$ 와도 $C$ 와도 겹치지만 $B$ 와 $C$ 는 떨어져 있습니다. 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)로 각 영역에 알맞은 수를 적어 두면, 세 집합 공식을 외우지 않아도 그림에서 바로 총합을 읽어낼 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 4학년 수준의 두 단계로 풀이를 정리해 줍니다: (i) 일단 아무 것도 공유되지 않은 듯이 세 화단의 식물 수를 더하고, (ii) 두 번 세어진 공유 식물을 한 번씩만 빼 줍니다. $B$ 와 $C$ 가 만나지 않으므로 세 화단 공통 영역도 없고, 따라서 "다시 더해 주는" 보정도 필요 없습니다.

실행 — 정답: C

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 1

벤 다이어그램 영역 표시하기

벤 다이어그램의 영역에 이름을 붙입니다.
그림에서 화단 $A$(위쪽 사각형)는 화단 $B$(오른쪽 원), 화단 $C$(왼쪽 원)와 각각 겹치고, $B$ 와 $C$ 는 떨어져 있습니다.
그래서 영역은 다섯 가지뿐입니다: $A$ 만, $B$ 만, $C$ 만, $A\cap B$, $A\cap C$.
$B\cap C$ 영역도, 세 화단 공통 영역도 없습니다.

$$|A| = 500, \;\; |B| = 450, \;\; |C| = 350, \;\; |A\cap B| = 50, \;\; |A\cap C| = 100, \;\; |B \cap C| = 0$$

💡 계산을 시작하기 전에 그림부터 봅니다. 겹침의 모양이 어느 영역을 추적해야 하고 어느 영역은 비어 있는지를 알려 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 2

세 개수 더하기

작은 문제 1: 공유되는 식물이 없다고 가정하고 세 화단을 그냥 더합니다.
이렇게 하면 두 화단에 함께 속한 식물이 두 번 세어지므로, 이 합은 진짜 총합보다 큽니다.

$$|A| + |B| + |C| = 500 + 450 + 350 = 1300$$

💡 세 크기를 그냥 더하면 모든 식물을 한 화단에만 속한 것처럼 다루는 셈입니다. 공유되는 식물은 두 번 세어지니까 이 합은 공유량만큼 부풀려져 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

겹치는 수 더하기

작은 문제 2: 두 번 세어진 만큼을 빼 줍니다.
$A\cap B$ 영역의 식물은 $A$ 에서 한 번, $B$ 에서 한 번 세어졌으니 한 번 빼 줘야 합니다.
$A\cap C$ 도 마찬가지입니다.
$B\cap C$ 영역은 없으므로 더 뺄 것은 없습니다.

$$\text{공유량} = |A\cap B| + |A\cap C| + |B\cap C| = 50 + 100 + 0 = 150$$

💡 공유된 식물은 앞 단계에서 두 번 세어졌으니 한 번씩 빼 주면 정확히 한 번만 세어진 상태가 됩니다.

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 4

겹친 수 빼기

부풀어 있던 합에서 공유량을 뺍니다.
$B$ 와 $C$ 가 만나지 않으므로 세 화단 공통에 속하는 식물도 없고, 따라서 다시 더해 줄 항도 없습니다.

$$|A \cup B \cup C| = 1300 - 150 = 1150 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 벤 다이어그램에서 "부분을 더하고 두 번 센 만큼을 빼는" 정리가 선택지 (C)로 정확히 떨어집니다.

[1] #12 4.OA.A.3 벤 다이어그램의 영역에 이름을 붙입니다. 그림에서 화단 $A$(위쪽 사각형)는 화단 $B$(오른쪽 원), 화단 $C$(왼쪽 원)와 각각 겹치고,

[2] #7 4.NBT.B.4 작은 문제 1: 공유되는 식물이 없다고 가정하고 세 화단을 그냥 더합니다. 이렇게 하면 두 화단에 함께 속한 식물이 두 번 세어지므로, 이 합은

[3] #7 4.NBT.B.4 작은 문제 2: 두 번 세어진 만큼을 빼 줍니다. $A\cap B$ 영역의 식물은 $A$ 에서 한 번, $B$ 에서 한 번 세어졌으니 한 번 빼

[4] #12 4.OA.A.3 부풀어 있던 합에서 공유량을 뺍니다. $B$ 와 $C$ 가 만나지 않으므로 세 화단 공통에 속하는 식물도 없고, 따라서 다시 더해 줄 항도 없습

검토

합리성 확인: 벤 다이어그램의 각 영역을 모두 채워서 다시 더해 봅시다. $A$ 만 $= 500 - 50 - 100 = 350$, $A\cap B = 50$, $A\cap C = 100$, $B$ 만 $= 450 - 50 = 400$, $C$ 만 $= 350 - 100 = 250$. 합 $= 350 + 50 + 100 + 400 + 250 = 1150$으로 선택지 (C)와 일치합니다. 크기도 자연스럽습니다: 공유 식물이 있으니 답은 단순 합 $1300$ 보다 작아야 하고, 가장 큰 화단 $500$ 보다는 커야 하므로 $1150$만 말이 됩니다.

대안 접근: 도구 #5(공식 사용하기): 세 집합의 포함-배제 공식 $|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|$ 에 그대로 대입하면 $500 + 450 + 350 - 50 - 100 - 0 + 0 = 1150$으로 답 (C). 벤 다이어그램 풀이는 이 공식을 외우는 대신 그림으로 직접 보여 주는 같은 작업입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 자연수 다단계 문장제 해결 (세 화단을 벤 다이어그램으로 모델링하고, 더했다 빼는 단계를 이어 총합 $1150$을 구하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 ($500 + 450 + 350 = 1300$, $50 + 100 + 0 = 150$, $1300 - 150 = 1150$의 다자리 수 계산을 수행.)

⭐ 세 화단을 일단 공유가 없는 것처럼 더한 뒤, 두 번 세어진 공유 식물을 한 번씩만 빼 주면 됩니다 — $1300 - 150 = 1150$. 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 벤 다이어그램 문제예요.