경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 1999 · #9
학년 4 counting
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
주어진 그림 자체가 이미 벤 다이어그램입니다 — A, B, C 영역이 있고 A 가 B 와도 C 와도 겹치지만 B 와 C 는 떨어져 있습니다. 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)로 각 영역에 알맞은 수를 적어 두면, 세 집합 공식을 외우지 않아도 그림에서 바로 총합을 읽어낼 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 4학년 수준의 두 단계로 풀이를 정리해 줍니다: (i) 일단 아무 것도 공유되지 않은 듯이 세 화단의 식물 수를 더하고, (ii) 두 번 세어진 공유 식물을 한 번씩만 빼 줍니다. B 와 C 가 만나지 않으므로 세 화단 공통 영역도 없고, 따라서 "다시 더해 주는" 보정도 필요 없습니다.
벤 다이어그램 영역 표시하기
그림은 A만·B만·C만·A∩B·A∩C 다섯 영역뿐이고, B∩C도 세 화단 공통 영역도 없는 벤 다이어그램입니다.
계산을 시작하기 전에 그림부터 봅니다. 겹침의 모양이 어느 영역을 추적해야 하고 어느 영역은 비어 있는지를 알려 줍니다.
4.OA.A.3Draw A Venn Diagram세 개수 더하기
공유가 없다 치고 더하면 500 + 450 + 350 = 1300, 이 값은 공유 식물을 두 번 셉니다.
세 크기를 그냥 더하면 모든 식물을 한 화단에만 속한 것처럼 다루는 셈입니다. 공유되는 식물은 두 번 세어지니까 이 합은 공유량만큼 부풀려져 있습니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems겹치는 수 더하기
두 번 세어진 겹침은 |A∩B| + |A∩C| = 50 + 100 = 150이고, 뺄 B∩C는 없습니다.
공유된 식물은 앞 단계에서 두 번 세어졌으니 한 번씩 빼 주면 정확히 한 번만 세어진 상태가 됩니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems겹친 수 빼기
부풀린 합에서 겹침을 빼면 1300 - 150 = 1150, 선택지 (C)이고 다시 더할 항은 없습니다.
벤 다이어그램에서 "부분을 더하고 두 번 센 만큼을 빼는" 정리가 선택지 (C)로 정확히 떨어집니다.
서로 다른 식물의 실제 총수는 세 화단의 합계를 더한 뒤 두 화단이 공유하는 식물을 빼면 된다.
▸ 왜?
실제 총수는 그림의 각 영역을 한 번씩만 세어 얻는 값이다 — 한 화단에만 있는 식물과 두 화단이 겹치는 각 조각을 더한 것이다.
▸ 왜?
세 화단의 합계를 더하면 한 화단에만 있는 영역은 한 번, 겹치는 조각은 두 번 세어진다.
▸ 왜?
각 화단의 합계에는 그 화단이 공유하는 조각이 이미 들어 있어서, 그 조각은 만나는 두 화단의 합계 모두에 들어 있다.
▸ 왜?
겹치는 각 조각을 한 번 빼면 그 개수가 둘에서 하나로 내려가, 모든 식물이 정확히 한 번씩 세어진다.
▸ 왜?
여분으로 한 번 더 더해진 양에서 한 개를 덜어내면 그 여분의 덧셈이 상쇄된다.
세 화단을 일단 공유가 없는 것처럼 더한 뒤, 두 번 세어진 공유 식물을 한 번씩만 빼 주면 됩니다 — 1300 - 150 = 1150. 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 벤 다이어그램 문제예요.
- 벤 다이어그램 영역 표시하기
- 세 개수 더하기
- 겹치는 수 더하기
- 겹친 수 빼기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.