경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2011 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitioncomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 마을에 어른이 351 명 있고, 어른은 모두 자동차, 오토바이, 또는 둘 다를 가지고 있습니다. 자동차를 가진 어른은 331 명, 오토바이를 가진 어른은 45 명입니다. 자동차를 가진 어른 중에서 오토바이를 가지지 않은 사람은 몇 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

306

(E)

351

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 벤 다이어그램 그리기

"자동차, 오토바이, 또는 둘 다" 와 "오토바이를 가지지 않은" 같은 표현은 곧바로 도구 #12(벤 다이어그램)를 가리킵니다. 자동차 원과 오토바이 원을 겹치게 그리면, 모든 어른이 적어도 하나를 가진다는 조건은 두 원이 어른 351 명 전체를 덮는다는 뜻 — 즉 "둘 다 안 가짐" 영역은 없습니다. "자동차는 있지만 오토바이는 없는" 영역은 자동차 원의 왼쪽 조각인데, 이걸 바로 세는 대신 겹치는 부분(둘 다 소유)을 먼저 구한 뒤 자동차 전체에서 빼는 — 정확히 도구 #16(여집합 세기)의 발상으로 풀면 깔끔합니다.

1STEP 1

겹치는 두 집단 세우기

자동차 원 C, 오토바이 원 M 을 겹쳐 그립니다. 모두 하나는 가지므로 C ∪ M 에 351 명이 다 들어갑니다.

|C ∪ M| = 351, |C| = 331, |M| = 45

2STEP 2

둘 다 가진 사람 수 구하기

두 인원을 더하면 둘 다인 사람이 두 번 세어지니, 겹침은 331 + 45 - 351 = 25 명입니다.

|C ∩ M| = |C| + |M| - |C ∪ M| = 331 + 45 - 351 = 25

벤 다이어그램의 가운데("둘 다")는 두 번 세어진 만큼 — C + M 이 실제 전체보다 초과된 양 — 과 같습니다.

자동차와 오토바이를 둘 다 가진 어른의 수는 자동차 소유자 수에 오토바이 소유자 수를 더한 뒤 마을 전체 인구를 뺀 값과 같다.

▸ 왜?

자동차 소유자 수와 오토바이 소유자 수를 더하면 마을 전체를 한 번 깔아 놓은 다음 둘 다 가진 사람을 다시 한 번 더 세게 되는데, 둘 다 가진 사람은 이미 자동차 소유자 수 안에도 오토바이 소유자 수 안에도 들어 있기 때문이다.

▸ 왜?

자동차 소유자 수는 자동차만 가진 어른과 둘 다 가진 어른의 합인데, 자동차 무리는 겹침도 빈틈도 없이 '자동차만 있고 오토바이는 없음'과 '자동차와 오토바이 둘 다'로 나뉘기 때문이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

오토바이 소유자 수는 오토바이만 가진 어른과 둘 다 가진 어른의 합인데, 오토바이 무리는 겹침도 빈틈도 없이 '오토바이만 있고 자동차는 없음'과 '자동차와 오토바이 둘 다'로 나뉘기 때문이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

마을 전체는 자동차만 가진 어른, 둘 다 가진 어른, 오토바이만 가진 어른의 합인데, 모든 어른은 겹치지 않는 이 세 부분 중 정확히 하나에 속하고 아무도 빠지지 않기 때문이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

그 합에서 마을 전체를 빼면 모든 사람을 한 번씩 덜어내어, 둘 다 가진 사람의 두 번째 여분 한 벌만 남는데, 뺄셈이 합 속에 이미 들어 있던 전체 인구의 깔끔한 한 번 세기를 되돌리기 때문이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

4.NBT.B.4Draw A Venn Diagram

3STEP 3

자동차 수에서 겹침 빼기

여집합으로 봅니다. 자동차 전체에서 겹침을 빼면 오토바이 없는 자동차 소유자: 331 - 25 = 306 명.

|C ∖ M| = |C| - |C ∩ M| = 331 - 25 = 306

4STEP 4

306을 선택지와 맞추기

306 은 선택지 (D)입니다.

306 → (D)

정답

306

벤 다이어그램의 세 영역을 다 채워서 확인합시다. 자동차만 = 306, 둘 다 = 25, 오토바이만 = 45 - 25 = 20. 합 = 306 + 25 + 20 = 351로 전체 인원과 정확히 일치합니다. 자동차 소유자 331 명에 비해 오토바이 소유자 45 명은 훨씬 적으니, 대부분의 어른은 자동차만 갖고 있을 것이고 답 306의 크기도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

사실 이 AMC 8 문제는 4학년 벤 다이어그램 문제예요. 겹치는 부분을 먼저 구하고 자동차 원에서 빼면 끝!

겹치는 두 집단 세우기
둘 다 가진 사람 수 구하기
자동차 수에서 겹침 빼기
306을 선택지와 맞추기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

겹치는 두 집단 세우기

둘 다 가진 사람 수 구하기

자동차 수에서 겹침 빼기

306을 선택지와 맞추기

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