AMC 8 · 2000 · #11

쉬운 모드 학년 4

문제

숫자 $64$ 를 한번 봅시다. 일의 자리 숫자는 $4$ 입니다. 그런데 $64$ 는 $4$ 로 나누어떨어져요. 나머지가 없습니다. 그러니까 $64$ 는 자기의 일의 자리 숫자로 나누어떨어지는 특별한 성질을 가지고 있어요.

이제 $10$ 과 $50$ 사이의 정수들을 모두 떠올려 봅시다.

이 중에서 자기의 일의 자리 숫자로 나누어떨어지는 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $64$는 일의 자리 숫자 $4$로 나누어떨어집니다 ($64 \div 4 = 16$). $10$ 보다 크고 $50$ 보다 작은 자연수 중에서 자기 자신이 일의 자리 숫자로 나누어떨어지는 수는 몇 개일까요?

주어진 것: 범위: $10$ 보다 크고 $50$ 보다 작은 자연수, 즉 $11, 12, 13, \dots, 49$; 수 $N$ 의 "성질" $=$ $N$ 이 자신의 일의 자리 숫자 $u$ 로 나누어떨어진다; $u = 0$ 인 수는 자동 제외 — $0$으로 나누는 것은 정의되지 않음; 선택지: (A) $15$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $20$

구하는 것: $\{11, 12, \dots, 49\}$ 안에서 일의 자리 숫자로 나누어떨어지는 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

범위 안 수는 $39$ 개뿐이라 전체 확인도 가능하지만, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 일의 자리 $u$ 별로 묶으면 훨씬 효율적입니다. 각 $u$ ($1$부터 $9$) 마다 후보는 $1u, 2u, 3u, 4u$ 네 개뿐이고, "$N$ 이 $u$ 로 나누어떨어지는가?" 라는 질문은 이 네 후보에 똑같이 적용됩니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 묶음에서 한 번의 나누어떨어짐 규칙으로 비배수를 잘라냅니다. 일의 자리별로 묶으면 $39$ 회 검사가 9 묶음(각 최대 4 개) 검사로 줄어들어 빠지거나 중복될 확률이 훨씬 낮아집니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.A.2 단계 1

일의 자리로 경우 나누기

경우 나누기 설정.
일의 자리 $u$ 를 $1$부터 $9$까지 고정합니다 ($u = 0$은 어떤 수도 $0$으로 나누어지지 않으므로 제외).
각 $u$ 에 대해 범위 안 후보는 정확히 $1u, 2u, 3u, 4u$ 네 개이고, 그중 어느 것이 $u$ 의 배수인지 확인합니다.

$$\text{일의 자리 } u \text{ 의 후보}: \;\{10+u,\; 20+u,\; 30+u,\; 40+u\}$$

💡 4학년 자릿값: 두 자리 수 $=$ (십의 자리) $\times 10 +$ (일의 자리). $u$ 를 고정하면 변하는 것은 십의 자리뿐입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 2

쉬운 경우 세기

쉬운 일의 자리부터.
나누어떨어짐 규칙이 후보 $4$ 개를 모두 보장하는 경우입니다.
$u = 1$이면 모든 자연수가 $1$로 나누어떨어지고, $u = 2$이면 일의 자리가 $2$ 인 수는 짝수이므로 $2$로 나누어떨어지며, $u = 5$이면 일의 자리가 $5$ 인 수는 $5$로 나누어떨어집니다.

$$u=1: \{11,21,31,41\} \to 4. \quad u=2: \{12,22,32,42\} \to 4. \quad u=5: \{15,25,35,45\} \to 4.$$

💡 세 자리($1, 2, 5$)는 거저 얻습니다 — 끝자리만 보면 바로 결정되는 4학년 나누어떨어짐 규칙.

#3 가능성 지우기 3.OA.C.7 단계 3

중간 경우 세기

중간 경우.
$u = 4$는 후보별로 직접 확인: $14, 24, 34, 44$ 중 $4$로 나누어떨어지는 것은 $24 = 4 \times 6$과 $44 = 4 \times 11$.
$u = 3$은 $13, 23, 33, 43$ 중 $33 = 3 \times 11$만.
$u = 6$은 $16, 26, 36, 46$ 중 $36 = 6 \times 6$만.
$u = 8$은 $18, 28, 38, 48$ 중 $48 = 8 \times 6$만.

$$u=4: \{24,44\} \to 2. \quad u=3: \{33\} \to 1. \quad u=6: \{36\} \to 1. \quad u=8: \{48\} \to 1.$$

💡 곱셈구구만 알면 됩니다 — $50$까지 $u$ 의 배수를 훑어 일의 자리가 정말 $u$ 인 것만 남깁니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

빈 경우 확인하기

어렵지만 답이 없는 경우.
$u = 7$의 배수는 $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$ — 범위 안에서 일의 자리가 $7$ 인 수는 없습니다 (다음으로 가능한 것은 $77$).
$u = 9$의 배수는 $9, 18, 27, 36, 45$ — 역시 일의 자리가 $9$ 인 수가 없습니다 (다음은 $99$).
두 경우 모두 $0$.

$$u=7: \{\,\} \to 0. \quad u=9: \{\,\} \to 0.$$

💡 $u$ 의 배수이면서 일의 자리도 $u$ 이려면 $u \cdot k$ 에서 $k$ 가 일정한 조건을 만족해야 하는데, $u = 7, 9$ 에서는 $k = 1$ 다음이 $k = 11$ 이어서 $77, 99$가 됩니다 — 모두 $[11, 49]$ 바깥.

#2 빠짐없이 나열하기 3.NBT.A.2 단계 5

아홉 경우 합치기

$9$ 경우의 개수를 더해 최종 답을 구합니다.

$$\underbrace{4}_{u=1} + \underbrace{4}_{u=2} + \underbrace{1}_{u=3} + \underbrace{2}_{u=4} + \underbrace{4}_{u=5} + \underbrace{1}_{u=6} + \underbrace{0}_{u=7} + \underbrace{1}_{u=8} + \underbrace{0}_{u=9} = 17 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 빠짐없이 나열한 묶음들은 서로 겹치지 않으므로 (각 수의 일의 자리는 단 하나) 단순히 더하면 됩니다.

[1] #2 4.NBT.A.2 경우 나누기 설정. 일의 자리 $u$ 를 $1$부터 $9$까지 고정합니다 ($u = 0$은 어떤 수도 $0$으로 나누어지지 않으므로 제외). 각

[2] #3 4.OA.B.4 쉬운 일의 자리부터. 나누어떨어짐 규칙이 후보 $4$ 개를 모두 보장하는 경우입니다. $u = 1$이면 모든 자연수가 $1$로 나누어떨어지고,

[3] #3 3.OA.C.7 중간 경우. $u = 4$는 후보별로 직접 확인: $14, 24, 34, 44$ 중 $4$로 나누어떨어지는 것은 $24 = 4 \times 6$

[4] #3 4.OA.B.4 어렵지만 답이 없는 경우. $u = 7$의 배수는 $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$ — 범위 안에서 일의 자리가 $7$ 인 수는

[5] #2 3.NBT.A.2 $9$ 경우의 개수를 더해 최종 답을 구합니다.

검토

합리성 확인: $17$ 개 수를 십의 자리별로 다시 적어 누락·중복을 확인합니다. 십의 자리 $1$: $11, 12, 15$ ($3$ 개 — $14$는 $4$로 나누어떨어지지 않음). 십의 자리 $2$: $21, 22, 24, 25$ ($4$). 십의 자리 $3$: $31, 32, 33, 35, 36$ ($5$). 십의 자리 $4$: $41, 42, 44, 45, 48$ ($5$). 합계 $3 + 4 + 5 + 5 = 17$ — 일의 자리별 계산과 일치합니다. 규모 점검: 각 일의 자리당 평균 $17 / 9 \approx 1.9$ 개가 후보 $4$ 개 중 살아남으니 약 $47\%$, 절반은 "쉬운" 일의 자리이고 절반은 거의 안 나누어지는 자리라는 점을 생각하면 자연스러운 비율입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 단순 전수 검사: $11, 12, 13, \dots, 49$를 순서대로 따라가며 매번 나누어떨어짐을 직접 확인할 수도 있습니다. $39$ 회 검사로 같은 $17$이 나오지만, 일의 자리별 묶음(도구 #2)이 훨씬 빠릅니다 — 나누어떨어짐 규칙 한 번으로 후보 $4$ 개를 한꺼번에 처리하기 때문입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 1-100 범위 자연수의 모든 인수쌍 구하기; 주어진 한 자리 수의 배수인지 판단하기 (각 후보 $N \in \{11, \dots, 49\}$에 대해 $N$ 이 자신의 일의 자리 $u$ 의 배수인지 판단하는 데 사용 — 이 표준이 정확히 말하는 "$u$ 의 배수인가?" 작업입니다.)
4.NBT.A.2 다자리 자연수를 십진 표기·이름·전개식으로 읽고 쓰기 (두 자리 수 $N = 10 \cdot t + u$ ($t \in \{1,2,3,4\}$)의 일의 자리 $u$ 를 읽어 일의 자리별 경우 분할의 기준으로 삼는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이내 곱셈·나눗셈을 능숙하게 수행하기 ($14 \div 4$, $24 \div 4$, $33 \div 3$, $36 \div 6$, $48 \div 8$ 등 실제 나누어떨어짐 점검을 곱셈구구로 처리하는 데 사용.)
3.NBT.A.2 1000 이내 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행하기 ($9$ 경우 개수 $4 + 4 + 1 + 2 + 4 + 1 + 0 + 1 + 0 = 17$을 더해 최종 답을 얻는 데 사용.)

⭐ $39$ 개 수를 일의 자리별로 묶어 한 번에 한 규칙으로 확인하세요. 쉬운 자리 셋($1, 2, 5$)만으로 $12$ 개를 얻고, 나머지에서 $5$ 개를 더해 합 $17$ — 답은 (C).