AMC 8 · 2002 · #19

쉬운 모드 학년 4

📗 원본 문제 보기 →

문제

99보다 크고 999보다 작은 모든 정수, 즉 세 자리 수를 떠올려봅시다. 100, 101, 102, ... 998까지요.

각 수의 세 자릿수를 살펴봤을 때, 그 안에 0이 정확히 한 개만 있는 수를 찾으려고 합니다. 0이 하나도 없어도 안 되고, 두 개여도 안 됩니다. 딱 한 개여야 해요.

예를 들어 105는 0이 하나뿐이니 셉니다. 270도 0이 하나뿐이니 셉니다. 하지만 100은 0이 두 개라 세지 않고, 234는 0이 아예 없으니 세지 않습니다.

0을 정확히 하나만 가진 세 자리 수는 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

144

(D)

162

(E)

180

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $99$ 보다 크고 $999$ 보다 작은 정수 중, 숫자 $0$을 정확히 한 번 포함하는 수의 개수를 구하세요.

주어진 것: 대상 범위는 $100$부터 $998$ 까지의 세 자리 정수; 각 수는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리로 이루어진다; 선택지: (A) $72$, (B) $90$, (C) $144$, (D) $162$, (E) $180$

구하는 것: $0$이 정확히 한 개 들어있는 세 자리 수의 개수

이해

문제 재정리: $99$ 보다 크고 $999$ 보다 작은 정수 중, 숫자 $0$을 정확히 한 번 포함하는 수의 개수를 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

백의 자리는 $0$이 될 수 없으니, 단 하나의 $0$은 십의 자리 또는 일의 자리에 있어야 합니다. 이 관찰만으로 문제가 두 개의 깔끔한 작은 문제로 갈라집니다 (도구 #7) — "$0$이 십의 자리" 와 "$0$이 일의 자리." 각 작은 문제는 자리별 선택지 개수만 세는 짧은 계산이라 체계적인 나열 (도구 #2)에 딱 맞습니다. 두 경우는 $0$의 위치가 달라 겹치지 않으므로 마지막에 그냥 더하면 됩니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.1 단계 1

0의 자리로 경우 나누기

$0$의 위치에 따라 나눕니다.
세 자리 수를 $h\,t\,u$ (백·십·일)로 쓰면 $h$ 는 $0$이 될 수 없으므로, 유일한 $0$은 십의 자리 아니면 일의 자리에 있어야 합니다.
그래서 겹치지 않는 두 경우가 생깁니다 — 경우 T ($0$이 십의 자리, 꼴 $h\,0\,u$)와 경우 U ($0$이 일의 자리, 꼴 $h\,t\,0$).

$$\text{전체} = \#\{h\,0\,u\} + \#\{h\,t\,0\}$$

💡 세 자리 자릿값 (백·십·일)은 3학년 내용이고, 제한은 "맨 앞이 $0$이면 안 된다" 하나뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 2

가운데가 0인 경우 세기

경우 T 의 개수: $h\,0\,u$ 꼴.
백의 자리 $h$ 는 $1$부터 $9$까지 $9$ 가지.
십의 자리는 $0$으로 고정되어 $1$ 가지.
일의 자리 $u$ 는 $0$이면 안 되므로 (그러면 $0$이 두 개) $1$부터 $9$까지 $9$ 가지.
자리별 선택지를 모두 곱합니다.

$$\#\{h\,0\,u\} = 9 \times 1 \times 9 = 81$$

💡 독립된 자리의 선택지가 곱해져 전체 가짓수가 됩니다 — 4학년 문장제에서 만나는 "셔츠 $9$ 종 $\times$ 바지 $9$ 종" 과 같은 이치.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

끝이 0인 경우 세기

경우 U 의 개수: $h\,t\,0$ 꼴.
백의 자리 $h$ 는 $1$부터 $9$까지 $9$ 가지.
십의 자리 $t$ 는 $0$이면 안 되므로 (그러면 $0$이 두 개) $1$부터 $9$까지 $9$ 가지.
일의 자리는 $0$으로 고정되어 $1$ 가지.

$$\#\{h\,t\,0\} = 9 \times 9 \times 1 = 81$$

💡 경우 T 와 대칭 — 고정된 $0$이 일의 자리로 옮겨갔을 뿐, 개수는 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

두 경우 더하기

두 경우의 수를 더합니다.
경우 T 와 경우 U 는 $0$의 위치가 달라 같은 수를 가리키는 일이 없으므로, 그냥 합산하면 됩니다.

$$81 + 81 = 162 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 겹치지 않는 경우는 더한다 — "작은 문제로 쪼개기" 의 마무리 동작입니다.

[1] #7 3.NBT.A.1 $0$의 위치에 따라 나눕니다. 세 자리 수를 $h\,t\,u$ (백·십·일)로 쓰면 $h$ 는 $0$이 될 수 없으므로, 유일한 $0$은 십의

[2] #2 4.OA.A.3 경우 T 의 개수: $h\,0\,u$ 꼴. 백의 자리 $h$ 는 $1$부터 $9$까지 $9$ 가지. 십의 자리는 $0$으로 고정되어 $1$ 가지

[3] #2 4.OA.A.3 경우 U 의 개수: $h\,t\,0$ 꼴. 백의 자리 $h$ 는 $1$부터 $9$까지 $9$ 가지. 십의 자리 $t$ 는 $0$이면 안 되므로

[4] #7 4.OA.A.3 두 경우의 수를 더합니다. 경우 T 와 경우 U 는 $0$의 위치가 달라 같은 수를 가리키는 일이 없으므로, 그냥 합산하면 됩니다.

검토

합리성 확인: 답의 크기 감각을 확인합니다. 전체 세 자리 수는 $9 \times 10 \times 10 = 900$ 개. 그중 약 $\tfrac{1}{5}$ ($\frac{162}{900} = 0.18$)가 $0$을 정확히 한 번만 포함한다는 결과는 자연스럽습니다 — 십·일의 자리에서 $0$부터 $9$까지 어느 숫자나 똑같이 나올 수 있으니, 한 번만 $0$ 인 수는 의미 있지만 작은 비중을 차지해야 하니까요. 또한 $162 = 2 \times 81$은 "두 경우가 대칭" 이라는 풀이 구조와도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기) — 포함·배제로 접근: 십의 자리가 $0$ 인 세 자리 수의 개수 ($9 \cdot 1 \cdot 10 = 90$)와 일의 자리가 $0$ 인 개수 ($9 \cdot 10 \cdot 1 = 90$)를 더한 뒤, 둘 다 $0$ 인 수 ($9 \cdot 1 \cdot 1 = 9$ — 이건 $0$이 두 개라 "하나" 가 아님)를 두 번 빼면 $90 + 90 - 2 \cdot 9 = 162$. 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.NBT.A.1 세 자리 수의 자릿값 (백·십·일) 이해하기 (각 후보 수를 백·십·일 세 자리 $h\,t\,u$ 로 읽어 단 하나의 $0$이 어느 자리에 있는지 추적하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용하는 여러 단계 문장제 풀기 (각 경우에서 자리별 선택지 개수를 곱해 ($9 \times 1 \times 9 = 81$) 두 경우의 합 ($81 + 81 = 162$)을 구하는 데 사용.)

⭐ 단 하나의 $0$이 들어갈 자리는 둘 (십·일) 뿐이고, 각 자리마다 $9 \times 9 = 81$ 개의 수가 나옵니다 — 그래서 답은 $81 + 81 = 162$.