AMC 8 · 2004 · #5

쉬운 모드 학년 3

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문제

$16$ 개 팀이 참가하는 농구 토너먼트가 있다고 생각해 봅시다. 한 경기에서 두 팀이 맞붙고, 진 팀은 그대로 탈락합니다. 이긴 팀만 다음 경기로 올라가요.

이렇게 계속하다가 한 팀만 남으면 토너먼트가 끝납니다. 그 팀이 우승팀이에요.

총 몇 경기가 열릴까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $16$ 개 팀이 싱글 엘리미네이션 토너먼트를 합니다. 한 경기에서 진 팀은 바로 탈락하고, 우승팀 하나만 남으면 대회가 끝납니다. 총 몇 경기가 치러질까요?

주어진 것: $16$ 개 팀이 출전한다; 싱글 엘리미네이션: 한 번이라도 지면 탈락; 우승팀 하나만 남을 때 대회가 끝난다; 선택지: (A) $4$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $15$, (E) $16$

구하는 것: 치러지는 총 경기 수

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제 풀기

도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 가장 깔끔한 길입니다. 대회 내내 "한 경기당 탈락 팀은 정확히 하나"라는 규칙은 절대 바뀌지 않아요 — 바로 이 일대일 대응이 불변량입니다. 우승팀을 제외한 모든 팀이 탈락해야 하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같고, 그 값은 $16 - 1 = 15$. 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기)는 먼저 $4$ 팀처럼 작은 경우를 시도해 "경기 수 = 팀 수 $-$ 1" 규칙을 확인한 뒤 $16$ 팀에 적용하게 해 줍니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제 풀기 3.OA.A.3 단계 1

작은 대진표로 해 보기

작은 경우로 워밍업합니다.
$4$ 팀짜리 싱글 엘리미네이션을 해 보면, 1라운드는 $2$ 경기(네 팀이 둘씩 짝지어), 결승은 $1$ 경기.
총 $2 + 1 = 3$ 경기이고, 이는 $4 - 1$과 같습니다.

$$4 \text{ 팀} \;\Rightarrow\; 2 + 1 = 3 \text{ 경기} = 4 - 1$$

💡 작은 경우 먼저 풀어 보면 "팀 수 $-$ 1" 패턴을 눈으로 확인할 수 있어요.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.OA.A.3 단계 2

불변 관계 말하기

불변량을 진술합니다.
모든 경기에서 정확히 한 팀이 이기고 정확히 한 팀이 탈락합니다.
남은 팀 수가 어떻게 바뀌어도 "한 경기당 한 명 탈락"이라는 규칙은 그대로입니다.

$$\text{지금까지 치른 경기 수} = \text{지금까지 탈락한 팀 수}$$

💡 경기와 패배 팀의 일대일 대응이 풀이 전체를 떠받치는 변하지 않는 사실입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.OA.D.8 단계 3

탈락한 팀 세기

탈락 팀 수를 셉니다.
처음에 $16$ 팀이 있고, 끝에는 한 번도 지지 않은 우승팀 하나만 남습니다.
따라서 탈락한 팀은 $16 - 1 = 15$ 팀.

$$\text{탈락한 팀 수} = 16 - 1 = 15$$

💡 출전한 $16$ 팀에서 우승팀 한 팀을 빼면 한 번이라도 진 팀의 수가 나옵니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.OA.D.8 단계 4

불변 관계 적용하기

불변량을 적용합니다.
경기마다 정확히 한 팀이 탈락하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같습니다.

$$\text{총 경기 수} = \text{탈락한 팀 수} = 15 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 불변량 하나로 토너먼트 세기 문제가 뺄셈 한 줄로 끝납니다.

[1] #9 3.OA.A.3 작은 경우로 워밍업합니다. $4$ 팀짜리 싱글 엘리미네이션을 해 보면, 1라운드는 $2$ 경기(네 팀이 둘씩 짝지어), 결승은 $1$ 경기. 총

[2] #11 3.OA.A.3 불변량을 진술합니다. 모든 경기에서 정확히 한 팀이 이기고 정확히 한 팀이 탈락합니다. 남은 팀 수가 어떻게 바뀌어도 "한 경기당 한 명 탈락"

[3] #11 3.OA.D.8 탈락 팀 수를 셉니다. 처음에 $16$ 팀이 있고, 끝에는 한 번도 지지 않은 우승팀 하나만 남습니다. 따라서 탈락한 팀은 $16 - 1 = 1

[4] #11 3.OA.D.8 불변량을 적용합니다. 경기마다 정확히 한 팀이 탈락하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같습니다.

검토

합리성 확인: 라운드별로 더해 확인해 봅시다. $16$ 팀이면 1라운드 $16 \div 2 = 8$ 경기, 2라운드 $8 \div 2 = 4$ 경기, 3라운드(준결승) $4 \div 2 = 2$ 경기, 4라운드(결승) $1$ 경기. 합계 $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ 경기로 (D)와 일치합니다. 작은 선택지 (A) $4$, (B) $7$, (C) $8$은 일부 라운드만 센 값(예: $8$은 1라운드뿐)이라 부족하고, (E) $16$은 우승팀까지 한 번 졌다는 뜻이라 "우승팀은 안 진다"는 조건에 어긋납니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 라운드별 경기 수를 나열합니다. 1라운드 $8$, 2라운드 $4$, 3라운드 $2$, 4라운드 $1$. 매 라운드 절반으로 줄어드는 패턴이고 합은 $8 + 4 + 2 + 1 = 15$. 탈락 수를 세는 대신 라운드 합으로 가도 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈과 나눗셈으로 서술형 문제 풀기 (워밍업에서 라운드마다 팀을 둘씩 짝짓고 $2$로 나누어 "경기 수 = 팀 수 $-$ 1" 규칙이 왜 나타나는지 확인.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 서술형 문제 풀기 ($16$ 팀에서 우승팀 한 팀을 빼 탈락 팀 수 $15$를 구하고, 그 값이 곧 총 경기 수임을 연결하는 데 사용.)

⭐ 싱글 엘리미네이션 토너먼트에서는 경기마다 정확히 한 팀이 탈락해요. 그래서 경기 수는 탈락한 팀 수 — 즉 우승팀을 뺀 모든 팀의 수와 같습니다. $16$ 팀이면 $16 - 1 = 15$ 경기, 대진표를 그리지 않아도 끝!