경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2015 · #9
학년 3 arithmeticpattern답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
일별 판매량 1, 3, 5, 7, … 은 홀수의 나열이므로, 사실 이 문제는 "처음 20 개 홀수의 합" 을 묻는 것입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 작은 n (n = 1, 2, 3, 4)에 대해 누적 합을 직접 구하고, 도구 #5(패턴 찾기)로 그 누적 합 1, 4, 9, 16이 완전제곱수 n² 이라는 규칙을 잡아내면, n = 20 일 때 답은 20²으로 길게 더할 필요가 없습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막에 선택지와 맞춰 보는 빠른 확인용입니다.
처음 며칠 합 구하기
쉬운 것부터 — 처음 며칠치를 더해 누적 합 1, 4, 9, 16을 얻습니다.
처음 몇 개 홀수를 더하는 것은 20 이하 덧셈, 즉 2학년 수준 계산이라 부담 없이 데이터를 확보할 수 있습니다.
2.OA.B.2Solve An Easier Related Problem제곱수 규칙 찾기
이 누적 합은 완전제곱수 — n일까지의 합은 n²과 같습니다.
누적 합의 수치에서 패턴을 잡아내는 것은 3학년 "산술 패턴 찾기" 표준 그대로입니다.
n일이 지난 뒤 판 위젯의 누적 합은 처음 n개의 홀수 1 + 3 + 5 + …의 합이며, 그 누적 합은 언제나 완전제곱수 n²이다.
▸ 왜?
위젯 하나하나를 점으로 보고, 그 점들을 정사각형 모양으로 유지한다고 하자. 점 하나, 즉 1 × 1 정사각형에서 시작한다. 매일의 점들이 바로 다음 크기의 정사각형을 정확히 완성한다면, n일 뒤 점들은 꽉 찬 n × n 정사각형을 이루고 그 개수는 n²이다.
▸ 왜?
정사각형을 한 변 (n-1)에서 한 변 n으로 키우는 것은 그 둘레에 ㄱ자 모양 테두리를 두르는 것이다: 새 행의 점 (n-1)개, 새 열의 점 (n-1)개, 그리고 모서리 점 하나. 이 세 조각은 겹치지 않고 테두리 전체를 이루므로, 테두리는 (n-1) + (n-1) + 1 = 2n - 1개의 점을 갖는다.
▸ 왜?
자나벨의 n일째 판매량은 1에서 시작해 이후 (n-1)일 동안 매일 2씩 늘어나므로 1 + 2 × (n-1) = 2n - 1이다 — 바로 그 ㄱ자 테두리와 같은 개수여서, 매일의 위젯은 정확히 다음 정사각형을 완성하는 테두리가 된다.
▸ 왜?
완성된 n × n 정사각형은 점 n개짜리 행이 n개 있는 것이고, n이 든 같은 묶음 n개는 n × n = n²이므로, n일째가 정사각형을 완성하면 누적 합은 n²이다.
규칙 한 번 더 확인하기
한 번 더 확인 — 5일차에 9개를 더하면 25 = 5², 패턴이 유지됩니다.
4 개 사례만 보고 일반화하면 속을 수 있으니, 한 개 더 확인하는 것이 도구함이 요구하는 안전 장치입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern20일째에 규칙 적용하기
패턴을 n = 20에 적용 — 20일까지의 총 판매량은 20²입니다.
10의 배수를 제곱하는 것은 3학년 한 자리 곱셈 (2 × 2 = 4)에 0을 두 개 붙이는 것과 같습니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern선택지와 맞춰 보기
선택지와 대조 — 400은 (D)이고, 다른 선택지 중 20의 제곱은 없습니다.
선택지를 직접 대조하는 것은 AMC 객관식의 기본 안전 확인 절차입니다.
3.OA.C.7Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 "처음 n 개 홀수의 합이 n²" 이라는 3학년 사실 하나만 알면 되고, 그 사실 자체도 2학년 덧셈으로 직접 발견할 수 있어요!
- 처음 며칠 합 구하기
- 제곱수 규칙 찾기
- 규칙 한 번 더 확인하기
- 20일째에 규칙 적용하기
- 선택지와 맞춰 보기
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