경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2004 · #5
학년 3 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 가장 깔끔한 길입니다. 대회 내내 "한 경기당 탈락 팀은 정확히 하나"라는 규칙은 절대 바뀌지 않아요 — 바로 이 일대일 대응이 불변량입니다. 우승팀을 제외한 모든 팀이 탈락해야 하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같고, 그 값은 16 - 1 = 15. 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기)는 먼저 4 팀처럼 작은 경우를 시도해 "경기 수 = 팀 수 - 1" 규칙을 확인한 뒤 16 팀에 적용하게 해 줍니다.
작은 대진표로 해 보기
작게 확인: 4 팀은 2 + 1 = 3 경기이고, 3 = 4 - 1.
작은 경우 먼저 풀어 보면 "팀 수 - 1" 패턴을 눈으로 확인할 수 있어요.
3.OA.A.3Solve An Easier Related Problem불변 관계 말하기
경기마다 정확히 한 팀이 탈락하니, 경기 수 = 탈락 팀 수.
경기와 패배 팀의 일대일 대응이 풀이 전체를 떠받치는 변하지 않는 사실입니다.
3.OA.A.3Work Backwards탈락한 팀 세기
우승팀만 빼고 모두 지므로, 탈락 팀 = 16 - 1 = 15.
출전한 16 팀에서 우승팀 한 팀을 빼면 한 번이라도 진 팀의 수가 나옵니다.
3.OA.D.8Work Backwards불변 관계 적용하기
불변량에 따라 총 경기 수 = 탈락 팀 수 = 15 → (D).
불변량 하나로 토너먼트 세기 문제가 뺄셈 한 줄로 끝납니다.
치러진 경기 수는 탈락한 팀의 수와 같다.
▸ 왜?
각 경기를 그 경기에서 탈락한 한 팀과 짝지어 보자. 모든 경기는 패자를 정확히 한 팀 만들므로 짝이 있고, 한 팀은 단 한 경기에서만 탈락하므로 어떤 탈락 팀도 두 번 세어지지 않는다 — 그래서 이 대응은 양쪽 모두 정확히 일대일이다.
▸ 왜?
두 모임이 하나도 남김없이 일대일로 딱 짝지어지면 두 모임의 개수는 같다.
싱글 엘리미네이션 토너먼트에서는 경기마다 정확히 한 팀이 탈락해요. 그래서 경기 수는 탈락한 팀 수 — 즉 우승팀을 뺀 모든 팀의 수와 같습니다. 16 팀이면 16 - 1 = 15 경기, 대진표를 그리지 않아도 끝!
- 작은 대진표로 해 보기
- 불변 관계 말하기
- 탈락한 팀 세기
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