AMC 8 · 2009 · #5

쉬운 모드 학년 4

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문제

숫자들이 한 줄로 늘어선 목록을 생각해봅시다. 처음 세 수는 $1$ , $2$ , $3$ 입니다.

네 번째 수부터는 규칙이 있어요. 새 수는 바로 앞에 있는 세 수를 더한 값입니다. 그래서 네 번째 수는 $1 + 2 + 3 = 6$ 이 됩니다.

같은 규칙을 계속 써서 다음 수들을 찾아갑니다. 이 목록의 여덟 번째 수는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1, 2, 3$으로 시작하는 수열이 있습니다. 네 번째 항부터는 모든 항이 바로 앞의 세 항의 합과 같습니다. 여덟 번째 항을 구하세요.

주어진 것: 처음 세 항: $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$; 규칙: $n \ge 4$일 때 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$; 예시: $a_4 = 1 + 2 + 3 = 6$; 선택지: (A) $11$, (B) $20$, (C) $37$, (D) $68$, (E) $99$

구하는 것: 수열의 여덟 번째 항 $a_8$

이해

문제 재정리: $1, 2, 3$으로 시작하는 수열이 있습니다. 네 번째 항부터는 모든 항이 바로 앞의 세 항의 합과 같습니다. 여덟 번째 항을 구하세요.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

수열이 "바로 앞 세 항의 합"이라는 분명한 규칙으로 정의돼 있으니, 도구 #5(패턴 찾기)로 규칙대로 한 항씩 이어가면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 항을 한 줄에 순서대로 적어 두기 위함입니다 — 그러면 매 단계에서 필요한 "앞 세 항"이 그 줄의 마지막 세 숫자로 자동으로 보입니다. $a_4$부터 $a_8$까지 다섯 개만 구하면 되므로, 굳이 대수(도구 #13)를 꺼낼 일이 없습니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1

처음 세 항 쓰기

주어진 세 항을 순서대로 줄에 적습니다.
이게 나열의 출발점입니다.

$$a_1, a_2, a_3 = 1, 2, 3$$

💡 알고 있는 값을 먼저 줄에 적어 두면, 다음 단계에서 필요한 "앞 세 항"이 곧 줄의 마지막 세 숫자가 됩니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 2

네 번째 항 구하기

규칙대로 줄의 마지막 세 항을 더해 $a_4$를 구합니다.

$$a_4 = 1 + 2 + 3 = 6$$

💡 문제가 친절하게 예시로 보여 준 단계이므로, 규칙을 제대로 읽었는지 확인하는 검산도 됩니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 3

다섯 번째 항 구하기

이제 줄은 $1, 2, 3, 6$입니다.
마지막 세 항을 더해 $a_5$를 구합니다.

$$a_5 = 2 + 3 + 6 = 11$$

💡 "세 항짜리 창문"을 한 칸 오른쪽으로 미끄러뜨려 더한다고 보면 됩니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 4

여섯 번째 항 구하기

줄: $1, 2, 3, 6, 11$.
마지막 세 항을 더해 $a_6$을 구합니다.

$$a_6 = 3 + 6 + 11 = 20$$

💡 규칙은 그대로, 더할 세 숫자만 바뀝니다 — 같은 동작의 반복입니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 5

일곱 번째 항 구하기

줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20$.
마지막 세 항을 더해 $a_7$을 구합니다.

$$a_7 = 6 + 11 + 20 = 37$$

💡 항이 점점 커지므로, 덧셈을 한 번 더 검산합니다 — 한 항이 틀리면 그 뒤로 모두 어긋납니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 6

여덟 번째 항 구하기

줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20, 37$.
마지막 세 항을 더해 $a_8$을 구하면 답이 나옵니다.

$$a_8 = 11 + 20 + 37 = 68 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 마지막으로 창문을 한 번 더 밀면 목표 항이 나옵니다. 완성된 줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68$.

[1] #2 4.OA.C.5 주어진 세 항을 순서대로 줄에 적습니다. 이게 나열의 출발점입니다.

[2] #5 3.NBT.A.2 규칙대로 줄의 마지막 세 항을 더해 $a_4$를 구합니다.

[3] #5 3.NBT.A.2 이제 줄은 $1, 2, 3, 6$입니다. 마지막 세 항을 더해 $a_5$를 구합니다.

[4] #5 3.NBT.A.2 줄: $1, 2, 3, 6, 11$. 마지막 세 항을 더해 $a_6$을 구합니다.

[5] #5 3.NBT.A.2 줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20$. 마지막 세 항을 더해 $a_7$을 구합니다.

[6] #5 3.NBT.A.2 줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20, 37$. 마지막 세 항을 더해 $a_8$을 구하면 답이 나옵니다.

검토

합리성 확인: 각 항은 "앞 두 항 + 가장 큰 항"이라 대략 직전 항의 두 배 가까이 자라납니다. $a_7 = 37$의 두 배는 $74$이고, $68$은 그보다 조금 작아 자연스럽게 들어맞습니다. 선택지에서 $11, 20, 37$은 모두 이 수열의 더 앞쪽 항(전형적인 함정), $99$는 $11 + 20 + 37$로 만들 수 없는 큰 값입니다. 오직 $68$만 규칙과 맞으니 (D)가 답입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로도 풀립니다. 여덟 번째 항은 정확히 $a_5 + a_6 + a_7 = 11 + 20 + 37 = 68$이어야 합니다. 선택지 $11, 20, 37$은 자기 자신이 더 앞쪽 항이라 후보에서 탈락하고, $99$는 합 $68$보다 크니 역시 탈락 — (D) $68$만 살아남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (점화식 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$을 읽고, 그 규칙을 따라 $a_3$부터 $a_8$까지 패턴을 한 항씩 확장하는 데 사용.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이하 수의 덧셈·뺄셈을 유창하게 수행 ($1+2+3$, $2+3+6$, $3+6+11$, $6+11+20$, $11+20+37$처럼 세 수의 합을 단계마다 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 "주어진 규칙대로 패턴 잇기"와 3학년 덧셈만 알면 풀 수 있어요!