경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2018 · #5
학년 4 arithmeticpattern답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
식은 길지만 "+홀수, -짝수" 가 규칙적으로 반복되는 구조가 보입니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 딱 맞는데, (1-2)+(3-4)+(5-6)+… 처럼 다시 묶으면 모든 짝의 값이 같다는 점을 이용할 수 있습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로는 1+3+5-2-4 같은 작은 버전에서 같은 구조가 통하는지 먼저 확인해 두면 안심하고 큰 식에 적용할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 식을 (a) 짝지어진 부분, (b) 마지막 외톨이 항 2019, (c) 짝의 개수 세기 — 세 조각으로 깔끔히 나눠 줍니다.
작은 경우로 먼저 해보기
작게 먼저: 1+3+5-2-4를 (1-2)+(3-4)+5로 묶으면 = 3. 짝은 모두 같고 마지막 홀수만 짝꿍 없이 남습니다.
작은 버전부터 시도하는 것은 4학년 "규칙대로 패턴을 만들어 분석하기" 그대로 — 구조를 미리 확인하는 단계입니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem항 짝지어 묶기
이제 전체 식도 똑같이 묶습니다: (1-2)+(3-4)+…+(2017-2018), 마지막 2019 만 짝 없이 남습니다.
긴 식을 "짝지어진 부분 + 외톨이 한 항" 으로 분해하는 것은 4학년 다단계 문장제 풀이 방식입니다.
전체 식은 짝지은 덩어리 (1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2017-2018) 에 2019 가 홀로 남은 것과 같으며, 항들을 이렇게 재배열해도 값은 바뀌지 않는다.
▸ 왜?
각 홀수를 바로 뒤의 짝수와 번갈아 놓는 것은 같은 더하기와 빼기를 순서만 바꾼 것이라, 순서를 달리해도 누적 합계는 같은 값에 도달한다.
▸ 왜?
항들을 홀수-짝수 이웃끼리 늘어놓고 나면 각 이웃 쌍을 먼저 묶어 계산한 뒤 덩어리들을 더해도 되고, 어느 항을 먼저 묶든 전체 합은 달라지지 않는다.
▸ 왜?
마지막 홀수 2019 는 짝지을 짝수가 없어 홀로 남는 덩어리가 되고, 짝지은 덩어리들과 이 남은 항을 합치면 원래의 모든 항이 빠짐도 겹침도 없이 정확히 한 번씩 담긴다.
각 짝의 값 구하기
어떤 짝이든 (홀수) - (뒤 짝수) = 홀수 - (홀수+1) = -1, 즉 짝마다 1 씩 모자랍니다.
모든 짝이 똑같은 양만큼 모자란다는 사실을 잡아내는 게 4학년 "패턴의 규칙 찾기" 의 핵심입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern짝의 개수 세기
짝의 개수 세기: 각 짝은 {2,4,…,2018}의 짝수 하나를 쓰고, 2로 나누면 {1,…,1009} 이므로 1009 개의 짝입니다.
2018까지 짝수가 몇 개 들어가는지 세는 것은 4학년 "배수와 인수쌍" 단원 내용입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems2019에서 빼기
한 줄로 마무리: 외톨이 2019 에서 짝 1009 개의 모자란 1 씩을 빼면 2019 - 1009, 이것이 답입니다.
마지막에 네 자리 수끼리 빼는 것은 4학년 여러 자리 수의 뺄셈으로 끝납니다.
4.NBT.B.4Look For A Pattern이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "패턴 찾기" 와 여러 자리 수의 뺄셈만 알면 풀 수 있어요!
- 작은 경우로 먼저 해보기
- 항 짝지어 묶기
- 각 짝의 값 구하기
- 짝의 개수 세기
- 2019에서 빼기
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