AMC 8 · 2011 · #6

쉬운 모드 학년 4

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문제

한 마을에 어른이 $351$ 명 살고 있어요. 모든 어른은 자동차, 오토바이, 또는 둘 다를 가지고 있습니다.

전체 중 $331$ 명이 자동차를 가지고 있고, $45$ 명이 오토바이를 가지고 있어요.

자동차를 가진 사람들 중에서, 오토바이는 가지고 있지 않은 사람은 몇 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

306

(E)

351

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 마을에 어른이 $351$ 명 있고, 어른은 모두 자동차, 오토바이, 또는 둘 다를 가지고 있습니다. 자동차를 가진 어른은 $331$ 명, 오토바이를 가진 어른은 $45$ 명입니다. 자동차를 가진 어른 중에서 오토바이를 **가지지 않은** 사람은 몇 명일까요?

주어진 것: 전체 어른 수 $= 351$ 명; 모든 어른은 자동차, 오토바이, 또는 둘 다를 소유 (둘 다 안 가진 사람은 없음); 자동차 소유자 $= 331$ 명; 오토바이 소유자 $= 45$ 명; 선택지: (A) $20$, (B) $25$, (C) $45$, (D) $306$, (E) $351$

구하는 것: 자동차는 가지고 있지만 오토바이는 가지지 않은 어른의 수

이해

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

"자동차, 오토바이, 또는 둘 다" 와 "오토바이를 가지지 않은" 같은 표현은 곧바로 도구 #12(벤 다이어그램)를 가리킵니다. 자동차 원과 오토바이 원을 겹치게 그리면, 모든 어른이 적어도 하나를 가진다는 조건은 두 원이 어른 $351$ 명 전체를 덮는다는 뜻 — 즉 "둘 다 안 가짐" 영역은 없습니다. "자동차는 있지만 오토바이는 없는" 영역은 자동차 원의 왼쪽 조각인데, 이걸 바로 세는 대신 겹치는 부분(둘 다 소유)을 먼저 구한 뒤 자동차 전체에서 빼는 — 정확히 도구 #16(여집합 세기)의 발상으로 풀면 깔끔합니다.

실행 — 정답: D

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 1

겹치는 두 집단 세우기

자동차 소유자를 $C$, 오토바이 소유자를 $M$ 이라 하고 두 원을 겹쳐 그립니다.
모든 어른이 적어도 하나를 가지므로 합집합 $C \cup M$ 안에 어른 $351$ 명이 모두 들어가고, "두 원 바깥" 영역은 비어 있습니다.

$$|C \cup M| = 351, \quad |C| = 331, \quad |M| = 45$$

💡 먼저 그림을 그리고 각 영역이 어떤 합을 만들어야 하는지 표시해 둡니다.

#12 벤 다이어그램 그리기 4.NBT.B.4 단계 2

둘 다 가진 사람 수 구하기

둘 다 소유한 사람 수(겹치는 부분)를 구합니다.
자동차 인원과 오토바이 인원을 그냥 더하면 두 원 모두에 속한 사람이 두 번 세어지므로, $|C| + |M|$ 은 실제 전체 $|C \cup M|$ 보다 정확히 $|C \cap M|$ 만큼 큽니다.

$$|C \cap M| = |C| + |M| - |C \cup M| = 331 + 45 - 351 = 25$$

💡 벤 다이어그램의 가운데("둘 다")는 두 번 세어진 만큼 — $C + M$ 이 실제 전체보다 초과된 양 — 과 같습니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 4.NBT.B.4 단계 3

자동차 수에서 겹침 빼기

관점을 바꿉니다.
자동차 원 안에서 "자동차도 있고 오토바이도 있는" 부분을 자동차 전체에서 빼면, 남는 것이 바로 "자동차는 있지만 오토바이는 없는" 영역입니다.

$$|C \setminus M| = |C| - |C \cap M| = 331 - 25 = 306$$

💡 자동차 원 안에는 "자동차+오토바이" 와 "자동차만" 두 조각이 있습니다. 원하지 않는 조각을 전체에서 빼면 됩니다.

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 4

306을 선택지와 맞추기

$306$을 선택지에서 찾습니다.

$$306 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 벤 다이어그램으로 정리한 값이 선택지 중 하나에 정확히 떨어집니다.

[1] #12 4.OA.A.3 자동차 소유자를 $C$, 오토바이 소유자를 $M$ 이라 하고 두 원을 겹쳐 그립니다. 모든 어른이 적어도 하나를 가지므로 합집합 $C \cup

[2] #12 4.NBT.B.4 둘 다 소유한 사람 수(겹치는 부분)를 구합니다. 자동차 인원과 오토바이 인원을 그냥 더하면 두 원 모두에 속한 사람이 두 번 세어지므로, $|

[3] #16 4.NBT.B.4 관점을 바꿉니다. 자동차 원 안에서 "자동차도 있고 오토바이도 있는" 부분을 자동차 전체에서 빼면, 남는 것이 바로 "자동차는 있지만 오토바이는

[4] #12 4.OA.A.3 $306$을 선택지에서 찾습니다.

검토

합리성 확인: 벤 다이어그램의 세 영역을 다 채워서 확인합시다. 자동차만 $= 306$, 둘 다 $= 25$, 오토바이만 $= 45 - 25 = 20$. 합 $= 306 + 25 + 20 = 351$로 전체 인원과 정확히 일치합니다. 자동차 소유자 $331$ 명에 비해 오토바이 소유자 $45$ 명은 훨씬 적으니, 대부분의 어른은 자동차만 갖고 있을 것이고 답 $306$의 크기도 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #16(여집합 세기) 만으로도 풀 수 있습니다. 오토바이를 가지지 않은 어른은 $351 - 45 = 306$ 명. 모든 어른이 자동차나 오토바이 중 적어도 하나를 가지므로, 오토바이가 없는 사람은 반드시 자동차를 가집니다. 따라서 그 $306$ 명이 곧 "자동차만 가진" 사람들이고, 답은 $\textbf{(D)}\ 306$으로 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 자연수 다단계 문장제 해결 (자동차·오토바이 두 그룹을 합집합 $= 351$ 조건과 함께 모델링하고, 덧셈과 뺄셈을 이어 다단계 질문에 답하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (겹치는 부분 $331 + 45 - 351 = 25$와 최종 "자동차만" $331 - 25 = 306$의 다자리 수 연산을 수행.)

⭐ 사실 이 AMC 8 문제는 4학년 벤 다이어그램 문제예요. 겹치는 부분을 먼저 구하고 자동차 원에서 빼면 끝!