AMC 8 · 2013 · #14

쉬운 모드 학년 7

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문제

에이브는 손에 젤리빈 $2$ 개를 들고 있어요: 초록색 $1$ 개, 빨간색 $1$ 개.

밥은 손에 젤리빈 $4$ 개를 들고 있어요: 초록색 $1$ 개, 노란색 $1$ 개, 빨간색 $2$ 개.

같은 순간에 두 사람이 각자의 손에서 젤리빈 하나를 무작위로 골라 상대에게 보여줍니다. 한 손 안의 젤리빈들은 모두 똑같은 확률로 뽑혀요.

두 사람이 보여 준 젤리빈의 색이 같을 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac14$

(B)

$\frac13$

(C)

$\frac38$

(D)

$\frac12$

(E)

$\frac23$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 에이브는 젤리빈 $2$ 개(녹색 $1$, 빨강 $1$)를, 밥은 젤리빈 $4$ 개(녹색 $1$, 노랑 $1$, 빨강 $2$)를 손에 들고 있습니다. 두 사람이 각자 자기 손에서 젤리빈 하나를 무작위로 골라 상대에게 보여 줄 때, 두 사람이 보여 준 색이 일치할 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 에이브의 손: 녹색 $1$ $+$ 빨강 $1$ (총 $2$ 개); 밥의 손: 녹색 $1$ $+$ 노랑 $1$ $+$ 빨강 $2$ (총 $4$ 개); 두 사람 모두 자기 손의 젤리빈 중 하나를 균등하게 무작위로, 서로 독립적으로 뽑음; 선택지: (A) $\tfrac14$, (B) $\tfrac13$, (C) $\tfrac38$, (D) $\tfrac12$, (E) $\tfrac23$

구하는 것: 에이브가 뽑은 색과 밥이 뽑은 색이 일치할 확률

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 체계적으로 목록 만들기

색이 일치하는 방법은 둘 다 녹색을 뽑거나, 둘 다 빨강을 뽑는 것 — 완전히 분리된 두 경우뿐입니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 경우를 따로 푼 뒤 더하면 됩니다 (두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로). 도구 #4(체계적으로 목록 만들기)는 검산용으로 좋습니다 — (에이브 뽑기, 밥 뽑기) 쌍이 모두 $2 \times 4 = 8$ 가지로 같은 확률이라, 그중 색이 같은 쌍 수를 직접 세 보면 됩니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

맞출 수 있는 색 나열하기

일치할 수 있는 색을 추려냅니다.
일치하려면 그 색이 양쪽 손에 모두 있어야 합니다.
에이브는 $\{\text{녹색}, \text{빨강}\}$, 밥은 $\{\text{녹색}, \text{노랑}, \text{빨강}\}$ 이므로 공통 색은 녹색과 빨강입니다.
노랑은 일치 불가능하므로 "둘 다 녹색"·"둘 다 빨강" 두 작은 문제만 풀면 됩니다.

$$\text{일치 가능한 색} = \{\text{녹색}, \text{빨강}\}$$

💡 표본 공간을 적고 불가능한 결과를 제외하는 것은 7학년 "복합 사건의 확률 구하기" 과정 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

둘 다 초록일 확률 구하기

$P(\text{둘 다 녹색})$을 구합니다.
에이브가 녹색을 뽑을 확률은 $\tfrac{1}{2}$ (2개 중 1개), 밥이 녹색을 뽑을 확률은 $\tfrac{1}{4}$ (4개 중 1개).
두 뽑기는 독립이므로 곱합니다.

$$P(\text{둘 다 녹색}) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8}$$

💡 두 사건이 독립이면 둘 다 일어날 확률은 각 확률의 곱 — 7학년 곱셈 법칙입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

둘 다 빨강일 확률 구하기

$P(\text{둘 다 빨강})$을 구합니다.
에이브가 빨강을 뽑을 확률은 $\tfrac{1}{2}$ (2개 중 1개), 밥이 빨강을 뽑을 확률은 $\tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$ (4개 중 2개).
다시 곱합니다.

$$P(\text{둘 다 빨강}) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$$

💡 두 번째 작은 문제에도 같은 곱셈 법칙을 그대로 적용합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 4

두 확률 더하기

두 작은 문제의 확률을 더합니다.
"둘 다 녹색" 과 "둘 다 빨강" 은 한 번에 같이 일어날 수 없으므로(한 번에 색은 하나뿐), 일치 확률은 두 확률의 합입니다.
공통 분모 $8$로 통분합니다.

$$P(\text{일치}) = \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8} + \tfrac{2}{8} = \tfrac{3}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 분모가 다른 분수를 통분해서 더하는 것은 5학년 분수 덧셈 표준 그대로입니다.

[1] #7 7.SP.C.8 일치할 수 있는 색을 추려냅니다. 일치하려면 그 색이 양쪽 손에 모두 있어야 합니다. 에이브는 $\{\text{녹색}, \text{빨강}\}$,

[2] #7 7.SP.C.8 $P(\text{둘 다 녹색})$을 구합니다. 에이브가 녹색을 뽑을 확률은 $\tfrac{1}{2}$ (2개 중 1개), 밥이 녹색을 뽑을 확률

[3] #7 7.SP.C.8 $P(\text{둘 다 빨강})$을 구합니다. 에이브가 빨강을 뽑을 확률은 $\tfrac{1}{2}$ (2개 중 1개), 밥이 빨강을 뽑을 확률

[4] #7 5.NF.A.1 두 작은 문제의 확률을 더합니다. "둘 다 녹색" 과 "둘 다 빨강" 은 한 번에 같이 일어날 수 없으므로(한 번에 색은 하나뿐), 일치 확률은

검토

합리성 확인: 노랑은 "버리는 카드" 입니다. 밥이 노랑을 뽑을 확률이 $\tfrac{1}{4}$ 인데, 그 경우엔 무조건 일치 실패이므로 일치 확률은 $\tfrac{3}{4}$ 보다 작아야 합니다. 게다가 에이브 손에는 색이 두 종류뿐이라 일치 확률은 직관적으로도 $\tfrac{1}{2}$ 보다 한참 작을 것입니다. 답 $\tfrac{3}{8} = 0.375$는 $\tfrac{1}{4}$와 $\tfrac{1}{2}$ 사이에 자연스럽게 자리잡아 선택지 (C)와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #4(체계적으로 목록 만들기): 밥의 젤리빈을 $G, Y, R_1, R_2$로 라벨링하면 (에이브, 밥) 쌍은 모두 $2 \times 4 = 8$ 가지로 같은 확률입니다 — $(G,G), (G,Y), (G,R_1), (G,R_2), (R,G), (R,Y), (R,R_1), (R,R_2)$. 색이 일치하는 쌍은 $(G,G), (R,R_1), (R,R_2)$의 $3$ 개. 따라서 $\tfrac{3}{8}$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{4}$를 공통 분모 $8$로 통분해 $\tfrac{3}{8}$을 얻는 분수 덧셈.)
7.SP.C.8 체계적 목록·표·나무 그림·시뮬레이션을 이용한 복합 사건의 확률 구하기 (에이브와 밥의 뽑기를 독립 사건으로 보고 각 일치 경우의 확률을 곱으로 계산한 뒤, 서로 배타적인 두 경우를 합치는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년에서 배우는 "독립인 뽑기는 확률을 곱하고, 동시에 일어날 수 없는 경우는 확률을 더한다" 만 알면 풀 수 있어요!