경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2013 · #8

학년 7 probabilitycounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationtree-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

공정한 동전을 연속으로 3 번 던집니다. 3 번 던지는 동안 어딘가에서 앞면이 두 번 연달아 나올(즉, 결과 수열 안에 "HH" 가 포함될) 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{3}{8}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

결과가 2³ = 8 가지밖에 안 되므로 표본 공간 전체를 한 줄에 적을 수 있습니다 — 가장 깔끔한 길은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)입니다. 정해진 순서로 3 번 던진 결과를 모두 적은 뒤 HH 가 들어있는 것에만 표시하면 끝납니다. 도구 #16(여사건 세기)은 검토 단계에서 교차 확인용으로 남겨 둡니다 — HH 가 들어있지 "않은" 결과의 수를 세는 것도 짧고, 두 개수의 합이 정확히 8이 되는지로 검증할 수 있습니다.

1STEP 1

전체 경우의 수 세기

각 던지기는 H 또는 T 이고 시행이 서로 독립이므로, 표본 공간은 모두 8 가지 결과입니다.

2 × 2 × 2 = 2³ = 8 가지

2STEP 2

모든 경우 나열하기

모든 수열을 정해진 순서로 적습니다: T = 0, H = 1 인 이진수로 보고 000부터 111까지 세면 빠뜨리지 않아요.

TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH

3STEP 3

조건 맞는 경우 표시하기

각 문자열을 살펴 앞면 두 개가 바로 이웃하면 "해당", 아니면 "비해당" 으로 표시합니다.

TTT → 비해당, TTH → 비해당, THT → 비해당, THH → 해당, HTT → 비해당, HTH → 비해당, HHT → 해당, HHH → 해당

4STEP 4

확률 만들기

해당은 THH, HHT, HHH 로 3 가지, 전체 8 가지 중이므로 확률은 $\frac{3}{8}$ , 정답 (C)입니다.

P(앞면 두 번 연속) = 해당/전체 = 3/8 → (C)

균등한 표본 공간에서 확률은 (해당 수) / (전체 수) — 7학년 확률의 기본 공식입니다.

세 번 던지는 동안 어딘가에서 앞면이 연달아 두 번 나올 확률은, HH를 포함하는 똑같이 일어날 법한 세 번 던지기 수열의 개수를 그런 수열 전체의 개수로 나눈 값과 같다.

▸ 왜?

여덟 개의 수열은 모두 똑같이 일어날 법하므로, HH가 나타날 확률은 여덟 개 중 HH를 포함하는 수열이 몇 개인지 — 즉 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이다.

동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.

▸ 왜?

분모의 여덟 개 수열이 나오는 이유는 세 번의 던지기 각각이 독립적으로 두 가지 결과를 주기 때문이며, 두 가지 선택이 세 번에 걸쳐 반복되어 2 × 2 × 2 = 8개의 똑같이 일어날 법한 수열이 된다.

▸ 왜?

던질 때마다 목록이 두 배로 늘어 — 앞선 각 수열이 앞면판과 뒷면판으로 갈라져 — 세 번의 공정한 던지기는 세 번의 같은 두 배 늘리기, 2 × 2 × 2로 쌓인다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

이 수열들 중 정확히 세 개가 앞면 두 개를 나란히 포함하는데, 여덟 개 전부를 000부터 111까지 (T = 0, H = 1) 고정된 순서로 적으면 모든 수열이 한 번씩 나오고, 훑어보면 HH는 THH, HHT, HHH에서만 발견되기 때문이다.

▸ 왜?

각 수열을 000부터 111까지의 이진수 하나와 짝지으면 수열들이 여덟 개의 수와 일대일로 맞아떨어져 빠지는 것도 반복되는 것도 없으므로, 세 개의 적중은 완전한 집계가 된다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

7.SP.C.7Make A Systematic List

정답

3/8

\frac{3}{8}

은

\frac{1}{4}

과

\frac{1}{2}

사이의 값이라 직관적으로 자연스럽습니다 — 정확히 HHH 가 나올 확률(

\frac{1}{8}

) 보다는 크고, "앞면이 총 2 개 이상" 인 사건(연속이 아니어도 되는 경우, HTH 도 포함되어

\frac{1}{2}

) 보다는 작아야 하기 때문입니다. 또한 8 가지 결과 중 절반(4 가지)은 H 가 최대 하나뿐이라 HH 가 들어갈 수 없어, 답이

\frac{1}{2}

보다 작은 것도 맞습니다.

💡핵심 정리

표본 공간이 작을 때는 모든 결과를 차근차근 나열하면 끝 — 7학년 확률은 결국 꼼꼼한 세기 작업이에요!

전체 경우의 수 세기
모든 경우 나열하기
조건 맞는 경우 표시하기
확률 만들기

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전체 경우의 수 세기

모든 경우 나열하기

조건 맞는 경우 표시하기

확률 만들기

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