AMC 8 · 2013 · #9

쉬운 모드 학년 6

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문제

인크레더블 헐크는 점프할 때마다 직전 점프 거리의 두 배만큼 뛰어요. 첫 번째 점프는 $1$ 미터, 두 번째 점프는 $2$ 미터, 세 번째 점프는 $4$ 미터, 네 번째 점프는 $8$ 미터입니다.

그래서 점프 거리는 계속 두 배씩 늘어나요: $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$

점프가 점점 길어지는 모습을 떠올려봅시다. 점프 거리가 처음으로 $1$ 킬로미터, 즉 $1{,}000$ 미터를 넘는 순간이 언제일까요?

거리가 처음으로 $1{,}000$ 미터를 넘는 것은 몇 번째 점프일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$9^\text{th}$

(B)

$10^\text{th}$

(C)

$11^\text{th}$

(D)

$12^\text{th}$

(E)

$13^\text{th}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 헐크의 점프 거리가 매번 두 배로 늘어납니다 — $1, 2, 4, 8, \dots$ 미터. 점프 거리가 처음으로 $1{,}000$ 미터를 넘는 것은 몇 번째 점프일까요?

주어진 것: $1$번째 점프 $= 1$ m; 각 점프는 직전 점프의 $2$ 배 (공비 $2$ 인 등비수열); 넘어야 할 기준: $1$ km $= 1{,}000$ m; 선택지: (A) $9$번째, (B) $10$번째, (C) $11$번째, (D) $12$번째, (E) $13$번째

구하는 것: $n$번째 점프 거리가 $1{,}000$ m 보다 커지는 가장 작은 자연수 $n$

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

두 배씩 늘어나는 깔끔한 수열이라 도구 #5(패턴 찾기)가 가장 자연스럽습니다 — $n$번째 점프 거리가 $2^{n-1}$ 이라는 규칙을 찾으면 됩니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $2$의 거듭제곱을 순서대로 적어 가다가 $1{,}000$을 처음으로 넘는 값에서 멈추면 끝납니다. 대수나 로그 없이 그저 두 배씩 키워 가며 한 번만 "넘었다" 라고 외치면 됩니다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

늘어나는 규칙 찾기

먼저 점프 거리를 몇 개 적어 보고 어떤 규칙으로 자라는지 관찰합니다.
직전 값의 두 배씩 늘어나므로 수열은 $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ — 두 배 패턴입니다.

$$\text{점프 } 1{:}\;1,\;\text{점프 } 2{:}\;2,\;\text{점프 } 3{:}\;4,\;\text{점프 } 4{:}\;8$$

💡 "앞 항의 두 배" 라는 규칙을 알아채는 건 4학년 "규칙에 따라 수의 패턴 만들기" 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 2

점프를 2의 거듭제곱으로 쓰기

각 거리를 $2$의 거듭제곱으로 다시 써서 $n$번째 점프 공식을 만듭니다.
점프 $1 = 2^0$, 점프 $2 = 2^1$, 점프 $3 = 2^2$ 이므로 점프 $n = 2^{n-1}$입니다.

$$\text{점프 } n = 2^{n-1}$$

💡 $1, 2, 4, 8$을 $2^0, 2^1, 2^2, 2^3$으로 바꿔 쓰는 건 6학년 "자연수 지수 식" 표현입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 3

2의 거듭제곱 나열하기

$2$의 거듭제곱을 순서대로 나열하다가 $1{,}000$을 넘는 순간을 찾습니다.
한 항씩 두 배로 키우면서 기준을 언제 넘는지 지켜봅니다.

$$2^7 = 128,\;2^8 = 256,\;2^9 = 512,\;2^{10} = 1024$$

💡 한 항씩 두 배로 키우며 순서대로 적어 나가는 건 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 거듭제곱에 적용한 모습입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 4

1000을 처음 넘는 곳 찾기

$2^9 = 512$는 아직 $1{,}000$ 보다 작지만, $2^{10} = 1024 > 1{,}000$.
즉, 처음으로 기준을 넘기는 지수는 $10$입니다.

$$512 < 1000 < 1024 \;\Rightarrow\; \text{지수} = 10$$

💡 나열된 값 중에서 $2^{n-1} > 1000$을 처음 만족하는 것을 골라내는 건 6학년 "부등식을 참으로 만드는 값을 찾기" 와 같습니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 5

지수를 점프 번호로 바꾸기

지수를 점프 번호로 되돌립니다.
점프 $n$ 의 거리가 $2^{n-1}$ 이므로 지수가 $10$ 이라면 $n - 1 = 10$, 따라서 $n = 11$입니다.

$$n - 1 = 10 \;\Rightarrow\; n = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "패턴에서 몇 번째 자리인가" 를 "몇 번째 점프인가" 로 바꾸는 건 4학년 규칙을 거꾸로 한 번 더 적용하는 일입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 먼저 점프 거리를 몇 개 적어 보고 어떤 규칙으로 자라는지 관찰합니다. 직전 값의 두 배씩 늘어나므로 수열은 $1, 2, 4, 8, 16, \d

[2] #5 6.EE.A.1 각 거리를 $2$의 거듭제곱으로 다시 써서 $n$번째 점프 공식을 만듭니다. 점프 $1 = 2^0$, 점프 $2 = 2^1$, 점프 $3 = 2

[3] #2 6.EE.A.1 $2$의 거듭제곱을 순서대로 나열하다가 $1{,}000$을 넘는 순간을 찾습니다. 한 항씩 두 배로 키우면서 기준을 언제 넘는지 지켜봅니다.

[4] #2 6.EE.B.5 $2^9 = 512$는 아직 $1{,}000$ 보다 작지만, $2^{10} = 1024 > 1{,}000$. 즉, 처음으로 기준을 넘기는 지수는

[5] #5 4.OA.C.5 지수를 점프 번호로 되돌립니다. 점프 $n$ 의 거리가 $2^{n-1}$ 이므로 지수가 $10$ 이라면 $n - 1 = 10$, 따라서 $n =

검토

합리성 확인: $11$번째 점프는 $2^{10} = 1024$ m 로 $1{,}000$ m 를 아슬아슬하게 넘고, 바로 앞 $2^9 = 512$ m 는 아슬아슬하게 모자랍니다. 두 배씩 자라는 수열은 항상 $2\times$ 간격으로 건너뛰기 때문에 기준선 근처에서 이렇게 "아슬아슬" 한 느낌이 나오는 게 자연스럽습니다. 답 (C)는 선택지 한가운데에 있어, AMC 가 정답 양옆에 오답을 배치한 흔한 패턴과도 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)로 선택지를 그대로 대입해 봅니다. (A) $9$번째 $= 2^8 = 256$, (B) $10$번째 $= 2^9 = 512$, (C) $11$번째 $= 2^{10} = 1024$, (D) $12$번째 $= 2048$, (E) $13$번째 $= 4096$. $1{,}000$을 처음 넘기는 건 (C). (D), (E)도 $1{,}000$을 넘지만 "가장 작은 $n$" 조건에 걸려 탈락합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따른 수 또는 모양의 패턴 만들기 ($1, 2, 4, 8, \dots$ 의 두 배 규칙을 알아내고, 패턴 자리 번호를 점프 번호로 되돌리는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 들어간 수식의 작성과 계산 (각 점프 거리를 $2$의 거듭제곱 $2^{n-1}$로 쓰고 $2^7, 2^8, 2^9, 2^{10}$을 계산.)
6.EE.B.5 부등식의 풀이를 "식을 참으로 만드는 값 찾기" 로 이해하기 ($2^{n-1} > 1000$을 처음 만족하는 지수 $n - 1 = 10$을 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "$2$의 거듭제곱" 식만 알면 풀 수 있어요!