AMC 8 · 2015 · #10

쉬운 모드 학년 5

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문제

$1000$ 부터 $9999$ 까지의 모든 네 자리 수를 생각해봅시다.

이 중에서 네 개의 자릿수가 모두 서로 다른 수만 세려고 합니다. 예를 들어 $1234$ 는 네 자릿수가 모두 다르니까 셉니다. 하지만 $1123$ 은 숫자 $1$ 이 두 번 나오니까 세지 않아요.

네 자릿수가 모두 다른 네 자리 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3024

(B)

4536

(C)

5040

(D)

6480

(E)

6561

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1000$ 이상 $9999$ 이하의 정수 중에서 네 자리 숫자가 모두 서로 다른 — 즉 같은 숫자가 두 번 등장하지 않는 — 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.

주어진 것: 수의 범위는 $1000 \sim 9999$ 이므로 정확히 $4$ 자리 수; 각 자리에 쓸 수 있는 숫자는 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$의 $10$ 개; 네 자리의 숫자가 모두 서로 달라야 함 (반복 금지); 선택지: (A) $3024$, (B) $4536$, (C) $5040$, (D) $6480$, (E) $6561$

구하는 것: 네 자리 숫자가 모두 서로 다른 $4$ 자리 정수의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

$4$ 자리 수는 결국 천·백·십·일의 네 칸을 채우는 일입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "한 자리씩 독립적으로 고른다" 는 네 개의 하위 문제로 나누면, 각 칸의 경우의 수를 곱해 답이 나옵니다(곱의 법칙). 그 곱셈이 맞다는 걸 확인하기 위해 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 $2$ 자리 버전을 직접 세어 보고, 같은 논리를 $4$ 자리로 확장합니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.A.1 단계 1

두 자리 수로 연습하기

더 작은 문제로 워밍업해 봅시다.
$10 \sim 99$의 $2$ 자리 수 중 두 숫자가 서로 다른 것은 몇 개일까요?
십의 자리는 $1 \sim 9$의 $9$ 가지(앞자리 $0$ 금지), 일의 자리는 십의 자리에 쓴 숫자 하나를 뺀 $9$ 가지이므로 $9 \times 9 = 81$ 개입니다.
확인 — $10$부터 $19$까지 중 반복이 있는 수는 $11$ 하나뿐이라 $9$ 개가 남고, 십의 자리를 고정했을 때 일의 자리 선택지 $9$ 개와 정확히 맞습니다.

$$9 \times 9 = 81 \text{ (두 자리 distinct-digit 개수)}$$

💡 더 쉬운 $2$ 자리 버전을 먼저 풀어 보면 "각 칸의 선택 수를 곱한다" 는 전략이 실제로 통한다는 것을 직접 확인할 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

천의 자리 경우 세기

칸 $1$ — 천의 자리.
수가 $1000$ 이상이어야 하므로 천의 자리에는 $0$을 쓸 수 없고, $1 \sim 9$의 $9$ 가지가 가능합니다.

$$\text{천의 자리 경우의 수} = 9$$

💡 한 자리만 떼어 "이 칸에 올 수 있는 숫자는?" 이라는 작은 문제로 다루는 것이 도구 #7의 핵심 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

백의 자리 경우 세기

칸 $2$ — 백의 자리.
$0 \sim 9$ 어떤 숫자든 가능하지만 천의 자리에 쓴 숫자와는 달라야 합니다.
따라서 $10$ 개 중 $1$ 개를 빼서 $10 - 1 = 9$ 가지.
백의 자리는 $0$도 가능 — "앞자리 $0$ 금지" 규칙은 천의 자리에만 적용됩니다.

$$\text{백의 자리 경우의 수} = 10 - 1 = 9$$

💡 남은 칸의 선택지 = $10$ 에서 이미 쓴 숫자 개수만큼 뺀 값.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

십의 자리 경우 세기

칸 $3$ — 십의 자리.
천·백의 자리 숫자와 모두 달라야 하므로 $2$ 개의 숫자가 막혀 $10 - 2 = 8$ 가지가 남습니다.

$$\text{십의 자리 경우의 수} = 10 - 2 = 8$$

💡 같은 규칙 — $10$ 에서 이미 쓴 숫자 수만큼 빼면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 5

일의 자리 경우 세기

칸 $4$ — 일의 자리.
앞서 쓴 $3$ 개와 모두 달라야 하므로 $10 - 3 = 7$ 가지.

$$\text{일의 자리 경우의 수} = 10 - 3 = 7$$

💡 이미 쓴 숫자가 가장 많으니 마지막 칸의 선택지가 가장 적습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 6

네 경우의 수 곱하기

각 칸의 경우의 수를 모두 곱합니다 — 곱의 법칙 : 독립적인 선택은 곱셈으로 합쳐집니다.
$9 \times 9 = 81$, $8 \times 7 = 56$, $81 \times 56 = 4536$.

$$9 \times 9 \times 8 \times 7 = 81 \times 56 = 4536 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 칸별 선택의 조합 하나하나가 서로 다른 수에 대응하고, 조건을 만족하는 모든 수는 이 방식으로 정확히 한 번씩 만들어집니다.

[1] #9 3.OA.A.1 더 작은 문제로 워밍업해 봅시다. $10 \sim 99$의 $2$ 자리 수 중 두 숫자가 서로 다른 것은 몇 개일까요? 십의 자리는 $1 \si

[2] #7 4.OA.A.3 칸 $1$ — 천의 자리. 수가 $1000$ 이상이어야 하므로 천의 자리에는 $0$을 쓸 수 없고, $1 \sim 9$의 $9$ 가지가 가능합니

[3] #7 4.OA.A.3 칸 $2$ — 백의 자리. $0 \sim 9$ 어떤 숫자든 가능하지만 천의 자리에 쓴 숫자와는 달라야 합니다. 따라서 $10$ 개 중 $1$ 개

[4] #7 4.OA.A.3 칸 $3$ — 십의 자리. 천·백의 자리 숫자와 모두 달라야 하므로 $2$ 개의 숫자가 막혀 $10 - 2 = 8$ 가지가 남습니다.

[5] #7 4.OA.A.3 칸 $4$ — 일의 자리. 앞서 쓴 $3$ 개와 모두 달라야 하므로 $10 - 3 = 7$ 가지.

[6] #7 5.OA.A.1 각 칸의 경우의 수를 모두 곱합니다 — 곱의 법칙 : 독립적인 선택은 곱셈으로 합쳐집니다. $9 \times 9 = 81$, $8 \times

검토

합리성 확인: 검산 — 자릿수 제한 없이 모든 $4$ 자리 수는 $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ 개입니다. 우리의 답 $4536$은 그 절반쯤이라, distinct-digit 조건을 단 결과로 자연스럽습니다. 일의 자리 끝자리 검사도 일치 — $9 \times 9 \times 8 \times 7$의 끝자리는 $1 \times 6 = 6$이고, 보기 중 끝자리가 $6$ 인 것은 (B) $4536$ 뿐입니다. (A) $3024$와 (C) $5040$은 각각 $9 \times 8 \times 7 \times 6$과 $10 \times 9 \times 8 \times 7$ — 앞자리 $0$ 규칙을 빠뜨리거나 두 번 적용한 흔한 함정 답입니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 "반복된 숫자가 하나라도 있는 $4$ 자리 수" 를 먼저 세는 방법도 있지만, 쌍 하나, 두 쌍, 세 개 같음, 네 개 같음 같은 경우가 많아 오히려 더 복잡합니다. 더 깔끔한 대안은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $2$ 자리 버전을 직접 적어 $81$을 확인한 다음, 같은 칸별 논리를 $4$ 칸으로 확장하는 것 — 본풀이의 워밍업 단계가 정확히 그 역할을 합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.OA.A.1 자연수의 곱 해석하기 (워밍업에서 $2$ 자리 distinct-digit 수의 개수 $9 \times 9$를 "$9$ 묶음의 $9$" 로 읽는 곱의 의미 해석 — 곱의 법칙의 토대.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (각 자리의 경우의 수를 "$10$ 에서 이미 쓴 숫자 수 빼기" ($10 - 1$, $10 - 2$, $10 - 3$)로 단계별로 구하는 다단계 추론.)
5.OA.A.1 괄호를 사용한 수식의 작성과 계산 ($9 \times 9 \times 8 \times 7$을 $(9 \times 9) \times (8 \times 7) = 81 \times 56 = 4536$으로 묶어 평가.)

⭐ 복잡한 세기 문제도 "한 칸에 한 가지 선택" 으로 쪼개 곱하면 풀려요 — 5학년 수식 평가 수준의 기술입니다.