AMC 8 · 2015 · #9

쉬운 모드 학년 3

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문제

자나벨은 위젯을 파는 새 일을 시작했습니다.

$1$ 일차에 위젯 $1$ 개를 팔았어요.
$2$ 일차에 $3$ 개를 팔았어요.
$3$ 일차에 $5$ 개를 팔았어요.

매일 전날보다 $2$ 개씩 더 많이 팝니다. 그러니까 $4$ 일차에는 $7$ 개, $5$ 일차에는 $9$ 개, 이런 식으로 늘어나요.

$20$ 일 동안 일한 뒤 자나벨이 판 위젯은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

210

(D)

400

(E)

401

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 자나벨은 1일차에 위젯 $1$개, 2일차에 $3$개, 3일차에 $5$개를 팔았고, 그다음부터는 매일 전날보다 $2$개씩 더 팔았습니다. $20$일 동안 일했을 때, 자나벨이 판 위젯은 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 1일차 판매량 $= 1$; 2일차 판매량 $= 3$; 3일차 판매량 $= 5$; 다음 날부터 매일 $2$개씩 더 판매; 선택지: (A) $39$, (B) $40$, (C) $210$, (D) $400$, (E) $401$

구하는 것: $20$일 동안 판 위젯의 누적 총합

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

일별 판매량 $1, 3, 5, 7, \dots$ 은 홀수의 나열이므로, 사실 이 문제는 "처음 $20$ 개 홀수의 합" 을 묻는 것입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 작은 $n$ ($n = 1, 2, 3, 4$)에 대해 누적 합을 직접 구하고, 도구 #5(패턴 찾기)로 그 누적 합 $1, 4, 9, 16$이 완전제곱수 $n^2$ 이라는 규칙을 잡아내면, $n = 20$ 일 때 답은 $20^2$으로 길게 더할 필요가 없습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막에 선택지와 맞춰 보는 빠른 확인용입니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 2.OA.B.2 단계 1

처음 며칠 합 구하기

먼저 며칠치 누적 합을 직접 계산합니다.
이것은 같은 문제를 작은 $n$ ($n = 1, 2, 3, 4$)으로 줄여 푸는 "더 쉬운 문제" 입니다.

$$S_1 = 1,\; S_2 = 1+3 = 4,\; S_3 = 1+3+5 = 9,\; S_4 = 1+3+5+7 = 16$$

💡 처음 몇 개 홀수를 더하는 것은 $20$ 이하 덧셈, 즉 2학년 수준 계산이라 부담 없이 데이터를 확보할 수 있습니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 2

제곱수 규칙 찾기

구한 누적 합을 익숙한 패턴과 비교합니다.
$1, 4, 9, 16$은 정확히 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ — 즉, $n$ 일까지의 누적 합 $S_n$ 이 $n^2$과 같습니다.

$$n = 1, 2, 3, 4 \;\Rightarrow\; S_n = n^2$$

💡 누적 합의 수치에서 패턴을 잡아내는 것은 3학년 "산술 패턴 찾기" 표준 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 3

규칙 한 번 더 확인하기

$n = 20$으로 건너뛰기 전에 한 번 더 확인합니다.
5일차에는 $9$ 개를 팔므로 $S_5 = 16 + 9 = 25 = 5^2$.
패턴이 유지됩니다.

$$S_5 = 16 + 9 = 25 = 5^2 \;\checkmark$$

💡 $4$ 개 사례만 보고 일반화하면 속을 수 있으니, 한 개 더 확인하는 것이 도구함이 요구하는 안전 장치입니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.C.7 단계 4

20일째에 규칙 적용하기

이제 패턴을 $n = 20$에 적용합니다.
$20$ 일까지의 총 판매량은 $20^2$입니다.

$$S_{20} = 20^2 = 400$$

💡 $10$의 배수를 제곱하는 것은 3학년 한 자리 곱셈 ($2 \times 2 = 4$)에 $0$을 두 개 붙이는 것과 같습니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.C.7 단계 5

선택지와 맞춰 보기

선택지와 맞춰 봅니다.
$400$은 (D)에 있고, 다른 선택지 중 $20$의 제곱이 되는 값은 없습니다.

$$400 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 선택지를 직접 대조하는 것은 AMC 객관식의 기본 안전 확인 절차입니다.

[1] #9 2.OA.B.2 먼저 며칠치 누적 합을 직접 계산합니다. 이것은 같은 문제를 작은 $n$ ($n = 1, 2, 3, 4$)으로 줄여 푸는 "더 쉬운 문제" 입니

[2] #5 3.OA.D.9 구한 누적 합을 익숙한 패턴과 비교합니다. $1, 4, 9, 16$은 정확히 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ — 즉, $n$ 일까지의 누적

[3] #5 3.OA.D.9 $n = 20$으로 건너뛰기 전에 한 번 더 확인합니다. 5일차에는 $9$ 개를 팔므로 $S_5 = 16 + 9 = 25 = 5^2$. 패턴이

[4] #5 3.OA.C.7 이제 패턴을 $n = 20$에 적용합니다. $20$ 일까지의 총 판매량은 $20^2$입니다.

[5] #3 3.OA.C.7 선택지와 맞춰 봅니다. $400$은 (D)에 있고, 다른 선택지 중 $20$의 제곱이 되는 값은 없습니다.

검토

합리성 확인: 20일차 하루 판매량은 $1 + 19 \times 2 = 39$ 개, 하루 평균 판매량은 $(1 + 39)/2 = 20$ 개이므로 $20$ 일 $\times \; 20$ 개 $= 400$ 개. 완전히 다른 경로로도 같은 답이 나오니 $400$이 맞습니다. (A) $39$는 20일차 하루 판매량 자체, (E) $401$은 1만큼 어긋난 함정 — 둘 다 그럴듯해 보이지만 총합은 아닙니다.

대안 접근: 도구 #14(차이의 규칙)도 동일한 답을 줍니다. 누적 합 $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ 의 1차 차이는 $3, 5, 7, 9, \dots$, 2차 차이는 $2$로 일정하므로 $S_n$ 은 $n$ 의 이차식이고, 그 식은 $S_n = n^2$입니다. 결과는 같지만 도구가 더 무거우니, AMC 8 시간 압박에서는 패턴 경로가 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.OA.B.2 $20$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 유창하게 수행 ($S_1 = 1, S_2 = 4, S_3 = 9, S_4 = 16$의 작은 누적 합을 손으로 직접 계산해 데이터를 만드는 데 사용.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 찾아내고 연산 성질로 설명 (누적 합 $1, 4, 9, 16, 25$가 완전제곱수 $n^2$ 이라는 규칙을 잡아내고, 한 사례를 더 검증.)
3.OA.C.7 $100$ 이내의 곱셈과 나눗셈을 유창하게 수행 (최종 누적 합 $20^2 = 400$을 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 "처음 $n$ 개 홀수의 합이 $n^2$" 이라는 3학년 사실 하나만 알면 되고, 그 사실 자체도 2학년 덧셈으로 직접 발견할 수 있어요!