AMC 8 · 2016 · #24

쉬운 모드 학년 4

문제

숫자 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ 를 각각 한 번씩만 써서 한 줄로 늘어놓아 다섯 자리 수 $PQRST$ 를 만듭니다. 여기서 $P$ 는 첫 번째 자리, $Q$ 는 두 번째 자리, 이런 식으로 이어져요.

이제 그 안에 들어 있는 세 자리 수 세 개를 살펴봅시다:

$PQR$ (앞 세 자리)은 $4$ 로 나누어떨어져야 합니다.
$QRS$ (가운데 세 자리)은 $5$ 로 나누어떨어져야 합니다.
$RST$ (뒤 세 자리)은 $3$ 으로 나누어떨어져야 합니다.

$P$ 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 $1, 2, 3, 4, 5$를 각각 한 번씩만 써서 다섯 자리 수 $PQRST$ 의 다섯 자리에 배치합니다. 단, 세 자리 수 $PQR$ 은 $4$의 배수, 세 자리 수 $QRS$ 는 $5$의 배수, 세 자리 수 $RST$ 는 $3$의 배수여야 합니다. 이때 자리 $P$ 에 들어가는 숫자는 무엇일까요?

주어진 것: 다섯 숫자 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, 각각 정확히 한 번씩 사용; $PQR$ 은 $4$의 배수; $QRS$ 는 $5$의 배수; $RST$ 는 $3$의 배수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 자리 $P$ 에 들어가는 숫자

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

다섯 자리에 숫자를 배치하는 방법은 $5! = 120$ 가지뿐이고, 세 개의 배수 조건이 이 후보군을 빠르게 깎아 줍니다. 도구 #3(가능성 지우기)가 이 문제의 주축입니다 — 각 배수 규칙이 특정 자리의 후보를 거의 다 지워서, 한 자리에 한두 개만 남게 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 규칙을 적용하는 순서를 정해 줍니다: 가장 강한 제약부터 — $5$의 배수 규칙으로 $S$, 그다음 $4$의 배수 규칙으로 $R$, 그다음 $3$의 배수 규칙으로 $T$, 마지막으로 남는 두 숫자로 $P, Q$. 사실상 논리 퍼즐이므로 대수(도구 #13) 보다 훨씬 깔끔합니다.

실행 — 정답: A

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 1

S 먼저 정하기

먼저 $S$ 를 확정합니다.
$QRS$ 가 $5$의 배수이려면 마지막 자릿수 $S$ 가 $0$ 또는 $5$ 여야 합니다.
$0$은 사용 가능한 숫자에 없으므로 $S = 5$.
숫자 $5$가 소진되고, 나머지 네 자리에는 $\{1, 2, 3, 4\}$가 남습니다.

$$S = 5; \quad \text{남은 숫자} = \{1, 2, 3, 4\}$$

💡 $5$의 배수 규칙은 이 문제에서 가장 빡빡한 조건입니다 — 끝자리가 $0$ 또는 $5$만 허용. $0$이 금지되므로 $S$ 는 곧장 강제됩니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 2

R 후보 좁히기

다음은 $R$ 의 범위를 좁힙니다.
$PQR$ 이 $4$의 배수이려면 마지막 두 자리로 이루어진 수가 $4$의 배수여야 하고, 그러려면 끝자리 $R$ 이 반드시 짝수여야 합니다.
남은 $\{1, 2, 3, 4\}$ 중 짝수는 $2$와 $4$, 그래서 $R \in \{2, 4\}$.

$$R \in \{2, 4\}$$

💡 "짝수 끝자리" 는 $4$의 배수의 필요조건일 뿐이지만, 후보를 네 개에서 두 개로 줄이기에 이미 충분합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

3의 배수 규칙 적용하기

$RST$ 에 $3$의 배수 규칙을 적용해 $R = 2$와 $R = 4$ 중 어느 쪽인지 가르고, 동시에 $T$ 도 정합니다.
$3$의 배수 규칙: 자릿수의 합이 $3$의 배수.
$S = 5$ 이므로 $R + 5 + T$ 가 $3$의 배수여야 합니다.
두 $R$ 후보를 차례로 검사합니다.

$R + S + T \equiv 0 \pmod 3$, 즉 $R + T \equiv 1 \pmod 3$ ($5 \equiv 2 \pmod 3$ 이므로).

💡 아직 두 자리 ($R$ 과 $T$)가 비어 있는데, $3$의 배수 규칙이 둘을 하나의 작은 부분 문제로 묶어 줍니다 — 몇 가지 경우만 점검하면 끝납니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

R의 두 경우 따져 보기

경우 $R = 2$: $T$ 후보는 $\{1, 3, 4\}$, $2 + 5 + T = 7 + T$ 가 $3$의 배수여야 합니다.
$7+1=8$, $7+3=10$, $7+4=11$ — 어느 것도 $3$의 배수가 아닙니다.
따라서 $R = 2$는 불가능.
경우 $R = 4$: $T$ 후보는 $\{1, 2, 3\}$, $4 + 5 + T = 9 + T$ 가 $3$의 배수여야 합니다.
$9$가 이미 $3$의 배수이므로 $T$ 도 $3$의 배수여야 하고, $\{1, 2, 3\}$ 안의 $3$의 배수는 $3$ 뿐입니다.
그래서 $R = 4, T = 3$.

$$R = 4, \; T = 3; \quad P, Q \text{ 에 남은 숫자} = \{1, 2\}$$

💡 여기서는 짧은 경우 분석 두 번이 어떤 대수보다 빠릅니다. $S = 5$와 짝지어진 $3$의 배수 규칙은 $(R, T) = (4, 3)$ 하나만 남깁니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

P와 Q 채우기

마지막으로 $P$ 와 $Q$.
남은 숫자는 $\{1, 2\}$이고, 이제 $R = 4$가 정해졌으므로 $PQR$ 의 $4$의 배수 조건은 $QR = Q4$가 $4$의 배수가 되어야 한다는 뜻입니다.
$14 \div 4 = 3.5$ (아니오), $24 \div 4 = 6$ (예).
따라서 $Q = 2$, 남는 $P = 1$.
전체 수는 $PQRST = 12453$.

$$Q = 2, \; P = 1; \quad PQRST = 12453 \;\Rightarrow\; P = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 자리에 두 숫자만 남았으니, 배수 검사 한 번으로 배치가 결정됩니다. $P$ 는 $Q$ 가 가져가지 않은 나머지일 뿐입니다.

[1] #3 4.OA.B.4 먼저 $S$ 를 확정합니다. $QRS$ 가 $5$의 배수이려면 마지막 자릿수 $S$ 가 $0$ 또는 $5$ 여야 합니다. $0$은 사용 가능한

[2] #3 4.OA.B.4 다음은 $R$ 의 범위를 좁힙니다. $PQR$ 이 $4$의 배수이려면 마지막 두 자리로 이루어진 수가 $4$의 배수여야 하고, 그러려면 끝자리

[3] #7 4.OA.B.4 $RST$ 에 $3$의 배수 규칙을 적용해 $R = 2$와 $R = 4$ 중 어느 쪽인지 가르고, 동시에 $T$ 도 정합니다. $3$의 배수 규

[4] #3 4.OA.B.4 경우 $R = 2$: $T$ 후보는 $\{1, 3, 4\}$, $2 + 5 + T = 7 + T$ 가 $3$의 배수여야 합니다. $7+1=8$,

[5] #3 4.OA.B.4 마지막으로 $P$ 와 $Q$. 남은 숫자는 $\{1, 2\}$이고, 이제 $R = 4$가 정해졌으므로 $PQR$ 의 $4$의 배수 조건은 $QR

검토

합리성 확인: $PQRST = 12453$을 세 조건에 대입해 확인합니다: $PQR = 124$, $124 = 4 \times 31$ ($4$의 배수, OK); $QRS = 245$, 끝자리가 $5$ ($5$의 배수, OK); $RST = 453$, 자릿수 합 $4 + 5 + 3 = 12 = 3 \times 4$ ($3$의 배수, OK). 다섯 숫자 $1, 2, 3, 4, 5$도 정확히 한 번씩 등장합니다. 모든 조건이 맞으므로 $P = 1$, 답은 (A).

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $S = 5$가 강제되고 $R \in \{2, 4\}$까지 좁혀진 상태에서, 남은 숫자로 가능한 $(P, Q, R, T)$ 순열을 모두 적은 뒤 $PQR$ 이 $4$의 배수이고 $RST$ 가 $3$의 배수인 것만 남기는 방법입니다. 살펴봐야 할 순열은 $2 \times 3! = 12$ 개뿐이고, 살아남는 건 $(P, Q, R, T) = (1, 2, 4, 3)$ 하나입니다. 단계적 소거 대신 통째 열거로도 같은 답 (A)가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 약수·배수 찾기; 자연수에 대한 배수 판별 추론을 1-100 범위에서 적용 (각 자리 $S$, $R$, $T$, $Q$ 에 들어갈 후보 숫자를 $3$, $4$, $5$의 배수 판별법으로 검사하고, 그 결과 $P$ 를 확정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 배수 판별 퍼즐이에요 — $3$, $4$, $5$의 배수 규칙만 알면 풀려요.