AMC 8 · 2017 · #7

쉬운 모드 학년 4

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문제

여섯 자리 수 하나를 떠올려 봅시다. 단, 앞의 세 자릿수와 뒤의 세 자릿수가 같은 순서로 똑같이 반복되는 수입니다.

예를 들어 $247247$ 은 그런 수예요. 앞 세 자리는 $247$ 이고, 뒤 세 자리도 $247$ 입니다. 또 다른 예로 $358358$ 도 있어요.

이런 여섯 자리 수를 $Z$ 라고 부릅시다.

아래 다섯 개의 수 중 하나는 어떤 $Z$ 든지 항상 그 약수가 되는 수예요. 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

101

(D)

111

(E)

1111

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 6자리 양의 정수 $Z$ 가 있는데, $247247$ 처럼 앞 세 자리와 뒤 세 자리가 같은 숫자가 같은 순서로 반복되는 특별한 모양입니다. 보기 다섯 개 — $11, 19, 101, 111, 1111$ — 중에서, 반복되는 세 자리가 무엇이든 항상 $Z$ 의 약수가 되는 수를 고르는 문제입니다.

주어진 것: $Z$ 는 6자리 양의 정수; $Z$ 는 $abcabc$ 꼴 — 앞 세 자리 $abc$ 가 뒤 세 자리에 그대로 반복; 문제에서 주어진 예: $247247$; 선택지: (A) $11$, (B) $19$, (C) $101$, (D) $111$, (E) $1111$

구하는 것: 모든 $abcabc$ 꼴 수를 반드시 나누는 보기 하나

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

변수부터 세우는 대수 풀이 대신, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 문제에서 친절히 알려준 구체적인 예 $247247$과 다른 $abcabc$ 수 하나를 직접 가지고 놀아 봅니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 "$abcabc = abc \times 1001$" 이라는 규칙을 발견하면, 질문이 "$1001$의 약수는 보기 중 어느 것인가?" 로 한 줄로 바뀝니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)로 다섯 보기를 $1001$에 대고 살펴 정답을 가려냅니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 일부러 피했습니다 — 변수를 먼저 세우기보다 한 예를 직접 나눠 보는 쪽이 자릿값 패턴을 훨씬 자연스럽게 드러내 줍니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.6 단계 1

주어진 예 나누어 보기

문제가 친절히 알려준 예 $247247$부터 시작합니다.
반복되는 세 자리 덩어리 $247$로 나눠 보고 무엇이 남는지 확인합니다.

$$247247 \div 247 = 1001$$

💡 6자리 수를 3자리 수로 나누는 건 4학년 긴 나눗셈 — 굳이 대수를 끌어올 필요가 없습니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

다른 수로 다시 확인하기

$1001$이 우연이 아닌지 확인하려고 또 다른 $abcabc$ 수로 한 번 더 검사합니다.
$315315 \div 315$를 계산해 봅니다.

$$315315 \div 315 = 1001$$

💡 두 번 모두 몫이 $1001$로 같다는 것을 확인하는 건 4학년 "수 패턴 만들기" 표준 그대로 — 규칙을 믿기 전에 한 번 더 검산하는 단계입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.A.2 단계 3

자릿값으로 1001 설명하기

왜 몫이 항상 $1001$ 인지 자릿값으로 설명합니다.
앞 세 자리 $abc$ 는 십만, 만, 천의 자리에 자리잡고 있으니 $abc$ 의 $1000$ 배에 해당하고, 뒤 세 자리는 그냥 $abc$ 한 번 더입니다.
그래서 $abcabc = abc \times 1000 + abc = abc \times 1001$이 됩니다.

$$\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} = \overline{abc} \times 1001$$

💡 $abcabc$ 를 자릿값으로 읽으면 앞 $abc$ 가 뒤 $abc$ 의 $1000$ 배라는 게 보이는데, 이건 4학년 "여러 자리 수의 자릿값" 표준 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 4

1001을 소인수분해하기

모든 $abcabc$ 수가 $\overline{abc} \times 1001$ 꼴이므로, $1001$의 약수는 자동으로 $Z$ 의 약수가 됩니다.
그래서 진짜 질문은 "$11, 19, 101, 111, 1111$ 중 $1001$의 약수는?" 로 바뀝니다.
$1001$을 소인수분해합니다.

$$1001 = 7 \times 11 \times 13$$

💡 $1001$ 같은 수의 약수쌍을 찾고 소수·합성수로 분류하는 건 4학년 "약수쌍과 소수·합성수" 표준입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

선택지를 1001과 비교하기

다섯 보기를 $1001$에 대고 하나씩 지워 봅니다.
$11$은 $1001$의 소인수 중 하나이므로 통과 — 나머지는 모두 탈락입니다: $1001 \div 19 \approx 52.7$, $1001 \div 101 \approx 9.91$, $1001 \div 111 \approx 9.02$, $1001 \div 1111 < 1$.
모두 정수 몫이 안 나옵니다.
살아남는 건 $11$ 뿐.

$$1001 \div 11 = 91 \;\checkmark \qquad \text{나머지: 정수 아님}$$

💡 각 보기를 $1001$의 약수인지 직접 시험해 가능성을 지워 가는 것은 같은 4학년 약수 판정을 객관식 풀이로 옮긴 것일 뿐입니다 — 진짜 약수만 끝까지 남습니다.

[1] #9 4.NBT.B.6 문제가 친절히 알려준 예 $247247$부터 시작합니다. 반복되는 세 자리 덩어리 $247$로 나눠 보고 무엇이 남는지 확인합니다.

[2] #5 4.OA.C.5 $1001$이 우연이 아닌지 확인하려고 또 다른 $abcabc$ 수로 한 번 더 검사합니다. $315315 \div 315$를 계산해 봅니다.

[3] #9 4.NBT.A.2 왜 몫이 항상 $1001$ 인지 자릿값으로 설명합니다. 앞 세 자리 $abc$ 는 십만, 만, 천의 자리에 자리잡고 있으니 $abc$ 의 $10

[4] #5 4.OA.B.4 모든 $abcabc$ 수가 $\overline{abc} \times 1001$ 꼴이므로, $1001$의 약수는 자동으로 $Z$ 의 약수가 됩니다

[5] #3 4.OA.B.4 다섯 보기를 $1001$에 대고 하나씩 지워 봅니다. $11$은 $1001$의 소인수 중 하나이므로 통과 — 나머지는 모두 탈락입니다: $100

검토

합리성 확인: 서로 다른 $abcabc$ 수 두 개로 점검합니다. $247247 \div 11 = 22477$ (정수), $123123 \div 11 = 11193$ (정수) — 둘 다 $11$로 나누어떨어집니다. "항상 약수" 가 아닌 보기를 시험 삼아 골라 보면, $123123 \div 19 \approx 6480.16$으로 정수가 아니므로 $19$는 보장된 약수가 아닙니다. 결국 $1001 = 7 \times 11 \times 13$ 안에 들어 있는 $11$ 만이 모든 $abcabc$ 에서 살아남습니다. 답 (A) $\boxed{11}$이 맞습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)을 쓰면 한 줄로 끝납니다. $N = \overline{abc}$로 놓으면 $Z = 1000N + N = 1001N$ 이므로, $1001 = 7 \times 11 \times 13$의 약수는 모두 $Z$ 의 약수입니다. 보기 중 $\{7, 11, 13\}$에 속하는 건 $11$ 뿐입니다. 대수 풀이는 더 짧지만, 본 풀이의 패턴 발견 경로는 $1001$이 "왜" 나타나는지를 더 자연스럽게 보여 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.6 네 자리까지의 피제수와 한 자리 제수로 정수 몫과 나머지 구하기 (주어진 예 $247247$을 $247$로 직접 나눠 몫 $1001$을 발견하는 단계 — 같은 4학년 긴 나눗셈 알고리즘으로 충분합니다.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 (두 번째 예 $315315 \div 315 = 1001$로 모든 $abcabc$ 가 같은 패턴을 따른다는 것을 한 번 더 확인하는 단계.)
4.NBT.A.2 여러 자리 수 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 ($abcabc$ 라는 6자리 수를 자릿값으로 읽어 앞 $abc$ 블록이 뒤 $abc$ 블록의 $1000$ 배임을 인식하고 $abcabc = abc \times 1001$을 끌어내는 단계.)
4.OA.B.4 약수쌍 모두 찾기, 배수 인식하기, 소수·합성수 판별 ($1001 = 7 \times 11 \times 13$으로 소인수분해한 뒤, 보기 ($11, 19, 101, 111, 1111$) 각각을 $1001$의 약수인지 점검해 정답을 가려내는 단계.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 자릿값과 약수쌍만 알면 풀 수 있어요 — $abcabc = abc \times 1001$ 이라는 걸 보는 순간, 결국 "$1001$의 약수는?" 을 묻는 문제거든요!