AMC 8 · 2018 · #5

쉬운 모드 학년 4

문제

$1$ 부터 $2019$ 까지의 수를 한 줄로 쭉 늘어놓았다고 생각해봅시다.

이 수들을 일정한 규칙에 따라 더하고 뺄 거예요. 홀수( $1, 3, 5, \ldots, 2019$ )에는 모두 더하기 부호가 붙습니다. 짝수( $2, 4, 6, \ldots, 2018$ )에는 모두 빼기 부호가 붙습니다.

그래서 전체 식은 이렇게 생겼습니다:

$1+3+5+\cdots+2017+2019-2-4-6-\cdots-2016-2018$

이 식의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1010

(B)

-1009

(C)

1008

(D)

1009

(E)

1010

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 식 $1+3+5+\cdots+2017+2019 \;-\; (2+4+6+\cdots+2016+2018)$의 값을 구하세요. 즉 $1$부터 $2019$ 까지의 모든 홀수를 더한 뒤, $2$부터 $2018$ 까지의 모든 짝수를 빼는 식입니다.

주어진 것: 더하는 부분: $1$부터 $2019$ 까지의 모든 홀수; 빼는 부분: $2$부터 $2018$ 까지의 모든 짝수; 두 수열 모두 공차가 $2$ 인 등차수열; 선택지: (A) $-1010$, (B) $-1009$, (C) $1008$, (D) $1009$, (E) $1010$

구하는 것: 이 긴 식의 정확한 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

식은 길지만 "$+$홀수, $-$짝수" 가 규칙적으로 반복되는 구조가 보입니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 딱 맞는데, $(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots$ 처럼 다시 묶으면 모든 짝의 값이 같다는 점을 이용할 수 있습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로는 $1+3+5-2-4$ 같은 작은 버전에서 같은 구조가 통하는지 먼저 확인해 두면 안심하고 큰 식에 적용할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 식을 (a) 짝지어진 부분, (b) 마지막 외톨이 항 $2019$, (c) 짝의 개수 세기 — 세 조각으로 깔끔히 나눠 줍니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

작은 경우로 먼저 해보기

먼저 작은 버전으로 같은 아이디어가 통하는지 확인해 봅니다.
$1+3+5-2-4$를 $(1-2)+(3-4)+5$로 다시 묶으면 $(-1)+(-1)+5 = 3$.
"홀수 $-$ 그다음 짝수" 의 짝은 모두 같은 값이고, 마지막 홀수는 짝꿍이 없어 홀로 남습니다.
이 구조를 그대로 큰 식에 옮길 거예요.

$$1+3+5-2-4 = (1-2)+(3-4)+5 = -1-1+5 = 3$$

💡 작은 버전부터 시도하는 것은 4학년 "규칙대로 패턴을 만들어 분석하기" 그대로 — 구조를 미리 확인하는 단계입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

항 짝지어 묶기

이제 원래 식 전체를 같은 방식으로 묶습니다.
양의 홀수 하나를 그 뒤 음의 짝수 하나와 짝지어 가면, 마지막 $2019$만 짝 없이 외톨이로 남습니다 — 작은 예에서 본 모양 그대로입니다.

$$\bigl[(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(2017-2018)\bigr] + 2019$$

💡 긴 식을 "짝지어진 부분 + 외톨이 한 항" 으로 분해하는 것은 4학년 다단계 문장제 풀이 방식입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

각 짝의 값 구하기

짝 하나의 값을 봅니다.
어떤 짝이든 모양이 $(\text{홀수}) - (\text{바로 뒤 짝수}) = \text{홀수} - (\text{홀수}+1)$ 이므로 $1$ 만큼 모자랍니다.
즉 짝 하나당 합에서 $1$ 씩 깎이는 셈입니다.

$$1-2=-1,\;\; 3-4=-1,\;\; 5-6=-1,\;\;\ldots,\;\; 2017-2018=-1$$

💡 모든 짝이 똑같은 양만큼 모자란다는 사실을 잡아내는 게 4학년 "패턴의 규칙 찾기" 의 핵심입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 4

짝의 개수 세기

짝의 개수를 셉니다.
짝마다 $\{2,4,6,\ldots,2018\}$ 에서 짝수 하나씩을 쓰므로, 짝의 개수는 이 짝수의 개수와 같습니다.
각 짝수를 $2$로 나누면 $\{1,2,3,\ldots,1009\}$가 되어 총 $1009$ 개의 짝이 만들어집니다.

$$2018 \div 2 = 1009 \text{ 개의 짝}$$

💡 $2018$까지 짝수가 몇 개 들어가는지 세는 것은 4학년 "배수와 인수쌍" 단원 내용입니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.4 단계 5

2019에서 빼기

마지막으로 합칩니다.
$-1$을 $1009$ 번 더한 뒤 $2019$를 더한다고 생각하지 말고, "$2019$ 에서 $1$ 씩 모자란 짝이 $1009$ 개 빠진다" 라고 보면 음수를 거치지 않고 바로 $2019 - 1009$로 정리됩니다.

$$2019 - 1009 = 1010 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 마지막에 네 자리 수끼리 빼는 것은 4학년 여러 자리 수의 뺄셈으로 끝납니다.

[1] #9 4.OA.C.5 먼저 작은 버전으로 같은 아이디어가 통하는지 확인해 봅니다. $1+3+5-2-4$를 $(1-2)+(3-4)+5$로 다시 묶으면 $(-1)+(-1

[2] #7 4.OA.A.3 이제 원래 식 전체를 같은 방식으로 묶습니다. 양의 홀수 하나를 그 뒤 음의 짝수 하나와 짝지어 가면, 마지막 $2019$만 짝 없이 외톨이로

[3] #5 4.OA.C.5 짝 하나의 값을 봅니다. 어떤 짝이든 모양이 $(\text{홀수}) - (\text{바로 뒤 짝수}) = \text{홀수} - (\text{홀수

[4] #7 4.OA.B.4 짝의 개수를 셉니다. 짝마다 $\{2,4,6,\ldots,2018\}$ 에서 짝수 하나씩을 쓰므로, 짝의 개수는 이 짝수의 개수와 같습니다. 각

[5] #5 4.NBT.B.4 마지막으로 합칩니다. $-1$을 $1009$ 번 더한 뒤 $2019$를 더한다고 생각하지 말고, "$2019$ 에서 $1$ 씩 모자란 짝이 $1

검토

합리성 확인: 홀수 쪽이 짝수 쪽보다 항이 하나 많고(그 항이 $2019$), 짝지어진 부분은 각 짝마다 $1$ 씩 모자라므로, 답은 "$2019 \;-\;$ (짝의 개수)" 정도가 되어야 자연스럽습니다. 실제로 짝 $(1,2),(3,4),\ldots,(2017,2018)$이 $1009$ 개이고 각 $1$ 씩 모자라므로 $2019 - 1009 = 1010$. 양수이며 $1009$ 보다 살짝 큰 값이라 (E)와 일치하고, 음수 선택지 (A), (B)는 자동으로 배제됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)과 등차수열의 합 공식을 활용할 수도 있습니다. 처음 $n$ 개 홀수의 합은 $n^2$ 이므로 $1+3+\cdots+2019 = 1010^2 = 1{,}020{,}100$ (홀수 항이 $1010$ 개). 짝수의 합은 $2+4+\cdots+2018 = 2(1+2+\cdots+1009) = 2 \cdot \tfrac{1009 \cdot 1010}{2} = 1009 \cdot 1010 = 1{,}019{,}090$. 두 값을 빼면 $1{,}020{,}100 - 1{,}019{,}090 = 1010$으로 (E)가 다시 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수나 도형의 패턴 만들기 ($1+3+5-2-4$ 작은 예에서 짝짓기 아이디어를 시험해 보고, $(\text{홀수}-\text{짝수})$ 짝마다 똑같이 $1$ 씩 모자란다는 규칙을 발견하는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수의 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (긴 식을 "짝지어진 부분" 과 외톨이 항 $2019$로 분해한 뒤 두 결과를 하나로 합치는 다단계 과정에 사용.)
4.OA.B.4 인수쌍 찾기와 배수 인식, 소수·합성수 판별 ($2$부터 $2018$ 까지의 짝수를 $2$의 배수로 보고 $2018 \div 2 = 1009$로 짝의 개수를 세는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 자유롭게 수행 (마지막 단계의 네 자리 수 뺄셈 $2019 - 1009 = 1010$을 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "패턴 찾기" 와 여러 자리 수의 뺄셈만 알면 풀 수 있어요!