AMC 8 · 2020 · #19

번갈아 수의 꼴 쓰기

• 다섯 자리 플리피 수의 모양을 적습니다.
• 서로 다른 두 숫자 $a$ 와 $b$ 가 자리마다 번갈아 나타나므로, 수는 $ababa$ 꼴이 됩니다 (1, 3, 5번째 자리는 $a$, 2, 4번째 자리는 $b$).
• $a$ 는 맨 앞자리이므로 $a \ne 0$이고, 두 숫자가 달라야 하므로 $a \ne b$ 입니다.

💡 여러 자리 수를 자릿값 자리별로 읽고 적는 것은 4학년 "여러 자리 수 읽고 쓰기" 그대로입니다.

5의 배수 조건 쓰기

• 작은 문제 1: $5$의 배수 조건.
• 자연수가 $5$의 배수가 되려면 마지막 자리가 $0$ 또는 $5$ 여야 합니다.
• $ababa$ 의 마지막 자리는 $a$ 인데, $a \ne 0$ 이므로 (다섯 자리 수의 맨 앞자리이기 때문) 남는 선택지는 $a = 5$ 뿐입니다.
• 따라서 수는 $5b5b5$ 꼴이 되고 $b \ne 5$ 라는 조건이 따라옵니다.

💡 $5$의 배수를 끝자리로 알아보는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원의 기본 판정법입니다.

3의 배수 조건 쓰기

• 작은 문제 2: $3$의 배수 조건.
• 자연수가 $3$의 배수가 되려면 자릿수의 합이 $3$의 배수여야 합니다.
• $5b5b5$의 자릿수를 더하면 $5$가 세 개, $b$ 가 두 개이므로 합은 $15 + 2b$ 입니다.
• $15$는 이미 $3$의 배수이므로, $2b$ 도 $3$의 배수가 되어야 합니다.

💡 "자릿수의 합이 $3$의 배수" 라는 규칙은 4학년 약수·배수 단원에서 배우는 표준 $3$의 배수 판정법입니다.

가능한 숫자 b 찾기

• $2b$ 가 $3$의 배수가 되게 하는 한 자리 숫자 $b$ 를 찾습니다.
• $2$와 $3$은 공약수가 $1$ 뿐이므로, $2b$ 가 $3$의 배수가 되려면 $b$ 자체가 $3$의 배수여야 합니다.
• 한 자리 $3$의 배수는 $0, 3, 6, 9$ 인데, $b \ne 5$ 라는 조건은 네 값 모두 자동으로 통과합니다.

💡 한 자리 $3$의 배수를 나열하는 것은 4학년 배수 개념 그대로의 단순 적용입니다.

가능한 수 모두 나열하기

허용된 $b$ 를 $5b5b5$에 작은 값부터 차례로 대입해 빠짐없이 적고 개수를 셉니다.

💡 "각 $b$ 마다 $5b5b5$" 라는 규칙으로 빠짐없이 수를 만들어 세는 것은 4학년 "주어진 규칙에 따라 수의 패턴 만들기" 표준에 정확히 들어맞습니다.