AMC 8 · 2020 · #6

쉬운 모드 학년 1

문제

칸이 다섯 개인 작은 기차를 떠올려봅시다. 각 칸에는 한 명만 탈 수 있어요. 앞에서부터 차례로 $1$ 번 칸(맨 앞), $2$ 번 칸, $3$ 번 칸(가운데), $4$ 번 칸, $5$ 번 칸(맨 뒤)이라고 합시다.

이 기차에 다섯 명이 탑니다: Aaron, Darren, Karen, Maren, Sharon. 자리에 대해 알고 있는 것은 다음과 같아요:

Maren은 맨 뒤 칸에 앉습니다.
Aaron은 Sharon의 바로 뒷칸에 앉습니다.
Darren은 Aaron보다 앞쪽 어딘가에 앉습니다.
Karen과 Darren은 서로 붙은 칸에 앉지 않아요. 두 사람 사이에는 적어도 한 명이 있어야 합니다.

가운데 칸에 앉은 사람은 누구일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Aaron

(B)

Darren

(C)

Karen

(D)

Maren

(E)

Sharon

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 애런, 대런, 캐런, 머렌, 섀런 다섯 친구가 한 칸에 한 명씩 앉을 수 있는 5칸짜리 작은 기차에 탑니다. 칸은 앞에서부터 $1, 2, 3, 4, 5$ 번이고, 주어진 단서들을 모두 만족시키는 좌석 배치를 찾아 가운데 칸($3$ 번 칸)에 누가 앉는지 알아냅니다.

주어진 것: 머렌 은 $5$ 번 칸(맨 뒤)에 앉는다; 애런 은 섀런 의 바로 뒤 칸에 앉는다 — 섀런 이 $n$ 번 칸이면 애런 은 $n+1$ 번 칸; 대런 은 애런 보다 앞쪽 칸에 앉는다 — $\text{칸}(D) < \text{칸}(A)$; 캐런 과 대런 사이에 적어도 한 명이 있다 — 두 사람은 이웃 칸이 아니므로 $|\text{칸}(K) - \text{칸}(D)| > 1$; 선택지: (A) 애런, (B) 대런, (C) 캐런, (D) 머렌, (E) 섀런

구하는 것: 가운데 칸($3$ 번 칸)에 앉는 사람

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기

가장 강한 제약은 $SA$ 라는 "붙어 있는 한 묶음"(섀런 바로 뒤가 애런)이고, 머렌 은 이미 $5$ 번 칸에 고정되어 있습니다. 그러니 $S$ 와 $A$ 가 차지할 수 있는 자리는 $1$–$4$ 번 칸 안에서 인접한 한 쌍을 고르는 것뿐 — 가능한 경우는 정확히 세 가지입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 이 세 경우를 순서대로 적어 두면 빠뜨릴 일이 없고, 도구 #3(가능성 지우기)로 대런·캐런 단서를 각 경우에 대 보면 살아남는 배치가 하나로 좁혀집니다. 도구 #1(그림 그리기)로 칸 다섯 개를 일렬로 그려 두면 머릿속이 헷갈리지 않습니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 K.G.A.1 단계 1

다섯 칸 그리고 마렌 놓기

칸 $1$부터 $5$까지 빈 상자 다섯 개를 일렬로 그리고, 확정된 정보부터 채워 넣습니다 — 머렌 은 $5$ 번 칸.
나머지는 이름의 첫 글자로 표기합니다.

$$[\,\_\,,\,\_\,,\,\_\,,\,\_\,, M\,]$$

💡 "앞", "뒤", "가운데" 같은 위치 말은 유치원에서 배운 표현 — 칸을 한 줄로 그려 두면 그 말이 눈에 보입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 K.G.A.1 단계 2

샤론과 애런 묶기

애런 이 섀런 바로 뒤 칸이라는 조건에서 $S$ 와 $A$ 는 붙어 있는 한 쌍 $SA$ 가 됩니다.
이 쌍이 들어갈 수 있는 자리는 $5$ 번 칸이 머렌 이므로 $1$–$4$ 번 칸뿐이고, 섀런 의 칸 번호 순서대로 모든 경우를 적습니다.

경우 1: $[S,A,\_,\_,M]$ \quad 경우 2: $[\_,S,A,\_,M]$ \quad 경우 3: $[\_,\_,S,A,M]$

💡 섀런 의 칸 번호를 작은 수부터 차례로 적는 규칙을 정하면 어떤 배치도 빠뜨리지 않습니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 3

경우 1 검사하기

경우 1을 대런 단서로 확인합니다.
애런 이 $2$ 번 칸이므로 대런 의 칸 번호는 $2$ 보다 작아야 — 즉 $1$ 번 칸이어야 — 하지만 $1$ 번 칸은 이미 섀런 입니다.
대런 이 들어갈 자리가 없으므로 경우 1은 탈락.

$\text{칸}(D) < 2 \Rightarrow \text{칸}(D) = 1$, 그런데 $1$ 번 칸 $= S$. 모순.

💡 $1$과 $2$를 $<$ 로 비교하는 것은 1학년 수 비교 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 4

경우 2 검사하기

경우 2를 확인합니다.
애런 이 $3$ 번 칸이므로 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸이어야 하는데 $2$ 번은 섀런 — 그러므로 대런 은 $1$ 번 칸.
남은 자리인 $4$ 번 칸은 캐런 차지.
마지막으로 거리 단서를 봅니다: 캐런($4$)과 대런($1$) 사이에 두 명($S, A$)이 있어 $|4-1| = 3 > 1$로 조건을 만족합니다.

$$[D, S, A, K, M]\,, \;\; |4-1| = 3 > 1\;\checkmark$$

💡 $|4-1|=3$을 계산하고 $1$과 비교하는 것은 1학년 뺄셈·비교 한 줄짜리 작업입니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 5

경우 3 검사하기

경우 3을 확인합니다.
애런 이 $4$ 번 칸이라 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸 어디든 가능하고, 캐런 이 나머지에 앉습니다.
그런데 어느 쪽으로 배치하든 $K$ 와 $D$ 는 $1$ 번과 $2$ 번 — 이웃한 칸 — 에 들어가서 $|1-2| = 1$이 되어 "적어도 한 명 사이" 조건이 깨집니다.
두 하위 경우 모두 실패.

$D{=}1, K{=}2: |2-1|=1$ \; ✗ \qquad $D{=}2, K{=}1: |1-2|=1$ \; ✗

💡 $K$ 와 $D$ 가 옆 칸끼리 붙으면 "사이에 한 명" 규칙이 깨집니다 — 1학년 비교로 바로 확인됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 K.G.A.1 단계 6

가운데 칸 읽기

살아남은 경우는 경우 2 뿐이므로 유일한 좌석 배치는 $[D, S, A, K, M]$입니다.
가운데 칸($3$ 번)에 앉은 사람은 애런.

$3$ 번 칸 $\Rightarrow$ 애런 $\;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$

💡 가운데 자리에 누가 있는지 읽어 내는 것은 유치원 "위치 표현하기" 그대로입니다.

[1] #1 K.G.A.1 칸 $1$부터 $5$까지 빈 상자 다섯 개를 일렬로 그리고, 확정된 정보부터 채워 넣습니다 — 머렌 은 $5$ 번 칸. 나머지는 이름의 첫 글자

[2] #2 K.G.A.1 애런 이 섀런 바로 뒤 칸이라는 조건에서 $S$ 와 $A$ 는 붙어 있는 한 쌍 $SA$ 가 됩니다. 이 쌍이 들어갈 수 있는 자리는 $5$ 번

[3] #3 1.NBT.B.3 경우 1을 대런 단서로 확인합니다. 애런 이 $2$ 번 칸이므로 대런 의 칸 번호는 $2$ 보다 작아야 — 즉 $1$ 번 칸이어야 — 하지만 $

[4] #3 1.NBT.B.3 경우 2를 확인합니다. 애런 이 $3$ 번 칸이므로 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸이어야 하는데 $2$ 번은 섀런 — 그러므로 대런 은 $

[5] #3 1.NBT.B.3 경우 3을 확인합니다. 애런 이 $4$ 번 칸이라 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸 어디든 가능하고, 캐런 이 나머지에 앉습니다. 그런데 어

[6] #2 K.G.A.1 살아남은 경우는 경우 2 뿐이므로 유일한 좌석 배치는 $[D, S, A, K, M]$입니다. 가운데 칸($3$ 번)에 앉은 사람은 애런.

검토

합리성 확인: 배치 $[D, S, A, K, M]$를 네 단서에 모두 대입해 봅시다. 머렌 은 $5$ 번 칸 ✓. 애런($3$)은 섀런($2$) 바로 뒤 ✓. 대런($1$)은 애런($3$) 앞 ✓. 캐런($4$)과 대런($1$) 사이에는 섀런 과 애런 두 명이 있어 "적어도 한 명" 조건 ✓. 네 조건이 모두 맞고, 경우 1·3은 각각 다른 단서로 분명히 탈락했으므로 답은 유일합니다 — 가운데 칸은 애런 으로 합리적입니다.

대안 접근: 도구 #4(격자 논리표) 로도 풀 수 있습니다. 사람 5명 $\times$ 칸 5개의 표를 그리고 머렌–$5$번 칸에 ✓ 를 찍으면 그 행과 그 열의 나머지가 X 로 채워집니다. "애런 은 $1, 5$ 번 칸이 아니다 (섀런 바로 뒤여야 하므로)", "섀런 은 $4, 5$ 번 칸이 아니다", "대런 은 $1$–$4$ 번 칸 중 애런 보다 작은 번호" 같은 식으로 단서를 차례로 적용해 X·✓ 를 채워 나가면 각 행에 ✓ 가 하나씩만 남으면서 같은 배치 $[D, S, A, K, M]$가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)

K.G.A.1 물체의 위치를 위, 아래, 옆, 앞, 뒤로 표현하기 ("맨 뒤 칸", "바로 뒤", "앞쪽", "가운데 칸" 같은 기차 칸의 위치 표현을 일렬로 늘어선 다섯 상자 위의 자리로 옮기는 데 사용.)
1.NBT.B.3 기호를 이용해 두 자릿수 비교하기 (칸 번호 $1$–$5$를 $<$ 로 비교하고, $|\text{칸}(K) - \text{칸}(D)|$ 을 계산해 "사이에 적어도 한 명" 단서를 경우마다 확인하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 1학년 때 배운 수 비교($1 < 2 < 3$)와 유치원 때 배운 위치 표현(앞, 뒤, 가운데)만 알면 풀 수 있어요!