AMC 8 · 2022 · #11

쉬운 모드 학년 4

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문제

아주 긴 파스타 한 가닥이 있다고 상상해봅시다. 당나귀 헨리(Henry)가 이 파스타를 한 입씩 베어 먹습니다.

헨리는 베어 먹을 때마다 어떤 한 조각의 한가운데에서 $3$ 인치만큼을 떼어 먹어요. 그러면 그 한 조각은 두 조각으로 나뉘고, 가운데 부분은 헨리의 입속으로 들어갑니다.

헨리는 이렇게 여러 번 베어 먹습니다. 다 먹고 나니 식탁 위에 파스타 조각이 $10$ 개 남아 있어요. 그 $10$ 개 조각의 길이를 모두 더하면 $17$ 인치입니다.

헨리가 처음에 가지고 있던 파스타 한 가닥의 길이는 몇 인치였을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 헨리는 아주 긴 파스타 한 가닥으로 시작합니다. 매번 어떤 한 조각의 가운데서 $3$ 인치를 베어 먹으면, 그 조각은 양 끝 두 조각으로 갈라집니다. 몇 번을 베어 먹은 끝에 조각이 모두 $10$ 개 남았고, 그 길이의 합은 $17$ 인치였습니다. 처음 파스타의 길이는 몇 인치였을까요?

주어진 것: 처음에는 파스타가 정확히 $1$ 조각이었다; 한 번 베어 물면 한 조각의 가운데에서 $3$ 인치가 사라진다; 한 번 베어 물 때마다 그 조각은 $2$ 조각으로 갈라진다 (가운데가 없어지므로); 마지막에 남은 조각 수 $= 10$; 마지막 조각 길이의 총합 $= 17$ 인치; 선택지: (A) $34$, (B) $38$, (C) $41$, (D) $44$, (E) $47$ (인치)

구하는 것: 베어 물기 전, 처음 파스타 한 조각의 길이(인치)

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #5 패턴 찾기

끝 상태(남은 조각 수, 남은 길이)는 알려져 있고 시작 상태(원래 길이)를 묻고 있으니, 전형적인 도구 #11(거꾸로 풀기)의 신호입니다 — 베어 먹은 것을 다시 붙여 가며 거꾸로 돌리면 됩니다. 그런데 거꾸로 돌리려면 "몇 번 베어 물었는지" 부터 알아야 하고, 그건 도구 #5(패턴 찾기)로 "한 번 베어 물 때마다 조각이 정확히 $1$ 개 늘어난다" 라는 깔끔한 규칙을 먼저 발견해 두면 자동으로 풀립니다. 패턴으로 베어 문 횟수를 잡고, 거꾸로 돌리기로 원래 길이를 복원하는 흐름입니다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

한 입마다 규칙 찾기

한 번 베어 물 때마다 조각 수가 어떻게 변하는지 규칙을 찾습니다.
처음에는 $1$ 조각, 한 번 베어 물면 가운데가 빠지면서 $2$ 조각, 또 한 번 베어 물면 그중 한 조각이 다시 갈라져 $3$ 조각… 매번 정확히 $1$ 조각씩 늘어나므로, $n$ 번 베어 물면 $1 + n$ 조각이 됩니다.

$$n \text{ 번 베어 문 후 조각 수} = 1 + n$$

💡 "가운데를 떼면 양 끝 두 조각이 남는다" 라는 그림으로부터 "한 번에 한 조각씩 늘어남" 이라는 깨끗한 수 패턴이 나옵니다.

#5 패턴 찾기 1.OA.D.8 단계 2

먹은 횟수 구하기

패턴을 이용해 헨리가 몇 번 베어 물었는지 구합니다.
마지막에 $10$ 조각이므로 $1 + n = 10$, 즉 $n = 9$ 번입니다.

$$1 + n = 10 \;\Rightarrow\; n = 9 \text{ 번}$$

💡 $1 + \square = 10$의 빈칸 채우기는 1학년 "덧셈식의 모르는 수" 그대로입니다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.A.3 단계 3

먹은 길이 구하기

헨리가 먹은 파스타의 총 길이를 계산합니다.
$9$ 번 모두 한 번에 $3$ 인치씩 먹었으니, 총 $9 \times 3 = 27$ 인치를 먹었습니다.

$$9 \times 3 = 27 \text{ 인치 (먹은 양)}$$

💡 $3$ 인치짜리 묶음이 $9$ 개 — 같은 묶음의 곱셈은 3학년 곱셈 문장제 그대로입니다.

#11 거꾸로 풀기 2.NBT.B.5 단계 4

먹은 길이 되돌려 더하기

이제 거꾸로 돌립니다.
헨리 입속으로 사라진 $27$ 인치를 식탁 위에 남은 $17$ 인치에 다시 더해 주면, 그것이 처음 파스타의 길이입니다.

$$\text{원래 길이} = 17 + 27 = 44 \text{ 인치} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "없어진 것을 도로 붙이기" 가 바로 거꾸로 풀기의 핵심 동작이고, 마지막 합은 2학년 100 이내 덧셈이면 충분합니다.

[1] #5 4.OA.C.5 한 번 베어 물 때마다 조각 수가 어떻게 변하는지 규칙을 찾습니다. 처음에는 $1$ 조각, 한 번 베어 물면 가운데가 빠지면서 $2$ 조각, 또

[2] #5 1.OA.D.8 패턴을 이용해 헨리가 몇 번 베어 물었는지 구합니다. 마지막에 $10$ 조각이므로 $1 + n = 10$, 즉 $n = 9$ 번입니다.

[3] #11 3.OA.A.3 헨리가 먹은 파스타의 총 길이를 계산합니다. $9$ 번 모두 한 번에 $3$ 인치씩 먹었으니, 총 $9 \times 3 = 27$ 인치를 먹었습

[4] #11 2.NBT.B.5 이제 거꾸로 돌립니다. 헨리 입속으로 사라진 $27$ 인치를 식탁 위에 남은 $17$ 인치에 다시 더해 주면, 그것이 처음 파스타의 길이입니다.

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 점검해 봅니다. $44$ 인치는 약 $112$ cm 로, "아주 긴 파스타" 라는 표현과 잘 어울리는 길이입니다. 또한 "원래 길이 $= 17 + 3n$ (단, $n$ 은 자연수)" 조건을 만족하는지 선택지별로 보면 $34 - 17 = 17$, $38 - 17 = 21$, $41 - 17 = 24$, $47 - 17 = 30$ — 어느 것도 $3$의 배수가 아니므로 "한 번에 $3$ 인치, 정확히 $9$ 번" 과 맞지 않습니다. 오직 $44 - 17 = 27 = 9 \times 3$만 들어맞아 답 (D)가 다시 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지에 바로 대입해 보는 방법도 있습니다. 원래 길이는 어떤 자연수 $n$ 에 대해 $17 + 3n$ 꼴이어야 하므로, "(선택지) $- 17$" 이 $3$의 배수인지만 확인하면 됩니다. 각각 $17, 21, 24, 27, 30$ — 이 중 $3$의 배수이면서 합리적인 베어 문 횟수($n = 9$)를 주는 것은 $27$ 뿐이므로 (D)가 강제로 결정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ("한 번 베어 물 때마다 조각이 정확히 한 개 늘어난다" 라는 규칙을 발견해 $n$ 번 후 조각 수 $= 1 + n$ 패턴을 세우는 데 사용.)
1.OA.D.8 덧셈·뺄셈 식에서 모르는 수 구하기 ($1 + n = 10$을 풀어 헨리가 베어 문 횟수 $n = 9$를 구하는 데 사용.)
3.OA.A.3 100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 ($9$ 번의 베어 물기로 먹은 총 길이 $9 \times 3 = 27$ 인치를 계산하는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내의 능숙한 덧셈과 뺄셈 (남은 $17$ 인치와 먹은 $27$ 인치를 더해 원래 길이 $17 + 27 = 44$ 인치를 복원하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "패턴을 찾아 거꾸로 풀기" 만 알면 풀 수 있어요!