AMC 10 · 2002 · #3

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangeplace-valuemulti-digit-arithmetic pattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

집합 {9, 99, 999, 9999, …, 999999999}에는 아홉 개의 수가 있고, k 번째 수는 9가 k 개 이어진 수입니다. 이 아홉 수의 산술평균 M은 각 자리 숫자가 모두 다른 아홉 자리 수입니다. 숫자 0, 2, 4, 6, 8 중에서 M에 나타나지 않는 것은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 4$

(D)

$\ 6$

(E)

$\ 8$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

큰 수 아홉 개를 더하고 9로 긴 나눗셈을 하는 것은 느리고 실수하기 쉽습니다. 대신 도구 #5(패턴 찾기)로 공통 구조를 알아챕니다: 모든 수가 9의 나열이므로 각 수는 1의 나열의 9 배입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눕니다 — 9를 밖으로 빼내 9로 나누는 것과 서로 지우고, 남은 1의 나열들을 세로 자리별로 더합니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 어떤 숫자가 빠졌는지 읽습니다. 다섯 선택지 중 넷은 실제로 M 에 나타나기 때문입니다.

1STEP 1

집합의 패턴 읽기

모든 수가 9의 나열이고 한 개씩 길어집니다. 수는 모두 아홉 개, k 번째 수는 9가 k 개입니다.

9₁, 99₂, 999₃, …, 999999999₉

2STEP 2

9의 나열을 다시 쓰기

9의 나열은 대응하는 1의 나열의 9배입니다: 9 = 9×1, 99 = 9×11, 999 = 9×111.

9=9·1, 99=9·11, 999=9·111, …, 999999999=9·111111111

3STEP 3

9를 빼내어 서로 지우기

합에서 공통인수 9를 빼내면 9로 나누는 것과 지워져 1 + 11 + … + 111111111만 남습니다.

M=(9 · 1+9 · 11+…+9 · 111111111)/9=(9 (1+11+…+111111111))/9=1+11+…+111111111

4STEP 4

1의 나열을 자리별로 더하기

세로로 쌓아 자리별로 더하면 받아올림 없이 9, 8, 7, …, 1이 되어 M = 123456789입니다.

1+11+111+…+111111111=123456789 → (A) 0

정답

크기를 확인해 봅니다: 가장 큰 수가 10억보다 작으므로 평균도 10억보다 작아 아홉 자리 답과 맞습니다. 직접 확인해도 지름길이 옳음을 알 수 있습니다 — 그냥 더한 합 9+99+…+999999999 = 1111111101이고, 1111111101 ÷ 9 = 123456789로 세로 덧셈이 준 값과 같습니다. M=123456789는 1,2,3,4,5,6,7,8,9를 모두 지나가므로 0을 뺀 모든 숫자가 들어 있어, 빠진 것은 0이고 다른 선택지는 모두 지워집니다.

💡핵심 정리

9의 줄은 곧 1의 줄의 아홉 배라서, 9를 빼내면 9로 나누는 것이 지워지고 답 123456789가 어려운 계산 없이 툭 떨어집니다.

집합의 패턴 읽기
9의 나열을 다시 쓰기
9를 빼내어 서로 지우기
1의 나열을 자리별로 더하기

집합의 패턴 읽기

9의 나열을 다시 쓰기

9를 빼내어 서로 지우기

1의 나열을 자리별로 더하기

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