AMC 10 · 2003 · #13

학년 2 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-sumsystematic-enumeration work-backwardscasework ↑ 선수 지식: digit-sum

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$\clubsuit(x)$ 를 양의 정수 $x$ 의 각 자리 숫자의 합이라 하자. 예를 들어 $\clubsuit(8)=8$ 이고 $\clubsuit(123)=1+2+3=6$ 이다. 두 자리 수 $x$ 중에서 $\clubsuit(\clubsuit(x))=3$ 을 만족하는 것은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 기호 $\clubsuit(x)$는 $x$의 각 자리 숫자를 모두 더한 값을 뜻한다. 따라서 $\clubsuit(\clubsuit(x))$는 이 연산을 두 번 하는 것이다. 먼저 $x$의 자리 숫자를 더하고, 그 결과의 자리 숫자를 다시 더한다. 두 자리 수($10$부터 $99$까지) 중에서 이 이중 자리합이 $3$이 되는 것이 몇 개인지 센다.

주어진 것: $\clubsuit(x)$는 $x$의 자리 숫자의 합이다. 예: $\clubsuit(8)=8$, $\clubsuit(123)=6$.; $x$는 두 자리 수, 즉 $10$부터 $99$까지이다.; $\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3$을 만족해야 한다.; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $9$, (E) $10$.

구하는 것: $\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3$을 만족하는 두 자리 수 $x$의 개수.

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #14 극단의 원리, #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

조건이 겹쳐 있다. 바깥쪽 $\clubsuit$이 안쪽 결과에 다시 작용한다. 그래서 거꾸로 풀기(도구 #11)로 접근한다. 안쪽 자리합을 $s = \clubsuit(x)$라 이름 붙이고, 먼저 어떤 $s$가 $\clubsuit(s) = 3$을 만족하는지 묻는다. 이 탐색을 유한하게 만들기 위해 경계값을 확인해서(도구 #14) $s$의 범위를 정한다. 두 자리 수의 자리 숫자 합은 최대 $9+9=18$이므로 $s$는 $1$부터 $18$ 사이에 있다. 그러면 바깥쪽 조건은 허용되는 안쪽 합이 $s=3$과 $s=12$ 두 가지뿐이 된다. 이제 문제는 서로 독립적인 두 개의 세기 부분 문제로 나뉘고(도구 #7), 각각은 짧은 나열(도구 #2)로 풀린다. 자리 숫자 합이 $3$인 두 자리 수를 세고, $12$인 두 자리 수를 센 뒤 두 개수를 더한다.

실행 — 정답: E

#14 극단의 원리 1.NBT.B.2 단계 1

안쪽 합에 이름 붙이고 범위 정하기

안쪽 자리합을 $s = \clubsuit(x)$라 하자.
두 자리 수는 십의 자리가 $1$부터 $9$, 일의 자리가 $0$부터 $9$이므로 자리 숫자 합의 최솟값은 $1+0 = 1$, 최댓값은 $9+9 = 18$이다.
따라서 $s$는 $1$과 $18$ 사이에 있다.
이 유한한 범위 덕분에 바깥쪽 조건을 쉽게 다룰 수 있다.

$$s = \clubsuit(x),\qquad 1 \le s \le 18$$

💡 두 자리 수의 자리합이 도달할 수 있는 최댓값은 $9+9=18$이므로 안쪽 값은 결코 $1$–$18$을 벗어나지 못한다.

#11 거꾸로 풀기 2.OA.B.2 단계 2

어떤 안쪽 합이 조건을 만족하는지 찾기

조건은 $\clubsuit(s) = 3$, 즉 $s$의 자리 숫자가 다시 더해서 $3$이 되어야 한다.
$1$부터 $18$까지 확인한다.
한 자리 $s$는 그 숫자 자체가 $3$일 때, 즉 $s = 3$일 때만 성립한다.
두 자리 $s$(즉 $10$부터 $18$까지)는 자리 숫자 합이 $3$일 때만, 즉 $s = 12$일 때 성립한다.
$1$–$18$ 안에서 다른 값은 없다.
따라서 안쪽 합은 $s = 3$ 또는 $s = 12$이다.

$$\clubsuit(s)=3 \text{ 이고 } 1\le s\le 18 \;\Rightarrow\; s = 3 \text{ 또는 } s = 12$$

💡 $18$ 이하로 유지하면 자리 숫자가 더해서 $3$이 되는 값은 $3$과 $12$뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 1.NBT.B.2 단계 3

자리 숫자 합이 3인 두 자리 수 세기

이제 자리 숫자 합이 $3$인 두 자리 수를 센다.
$x$를 십의 자리 $a$($1$부터 $9$)와 일의 자리 $b$($0$부터 $9$)로 쓰고 $a + b = 3$이라 하자.
십의 자리를 올려가며 보면 $a=1,b=2$는 $12$, $a=2,b=1$은 $21$, $a=3,b=0$은 $30$이다.
$a=4$이면 $b=-1$이 되어 불가능하므로 나열이 끝난다.
즉 $3$개다.

$$a+b=3:\; 12,\, 21,\, 30 \;\Rightarrow\; 3 \text{개}$$

💡 목표 합이 작으면 십의 자리는 $1$, $2$, $3$만 가능하므로 수는 세 개뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 1.NBT.B.2 단계 4

자리 숫자 합이 12인 두 자리 수 세기

다음으로 자리 숫자 합이 $12$인 두 자리 수를 센다.
다시 십의 자리 $a$($1$부터 $9$)와 일의 자리 $b$($0$부터 $9$)로 $a + b = 12$이다.
일의 자리 $b = 12 - a$가 $0$과 $9$ 사이여야 하므로 $a$는 $3$부터 $9$까지로 정해진다: $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$.
즉 $7$개다.

$$a+b=12:\; 39,\,48,\,57,\,66,\,75,\,84,\,93 \;\Rightarrow\; 7 \text{개}$$

💡 일의 자리는 최대 $9$이므로 십의 자리가 적어도 $3$이어야 하고, 그러면 정확히 $3$부터 $9$까지 일곱 값이 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 5

두 개수 더하기

두 경우 $s=3$과 $s=12$는 절대 겹치지 않는다.
한 수의 자리합은 하나의 값이므로 어떤 $x$도 두 번 세어지지 않는다.
개수를 더하면 $3 + 7 = 10$개의 두 자리 수가 나온다.
선택지 중 $10$은 (E)이다.

$$3 + 7 = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 두 자리합 경우가 서로 별개이므로 개수는 그냥 더하면 된다.

[1] #14 1.NBT.B.2 안쪽 자리합을 $s = \clubsuit(x)$라 하자. 두 자리 수는 십의 자리가 $1$부터 $9$, 일의 자리가 $0$부터 $9$이므로 자리

[2] #11 2.OA.B.2 조건은 $\clubsuit(s) = 3$, 즉 $s$의 자리 숫자가 다시 더해서 $3$이 되어야 한다. $1$부터 $18$까지 확인한다. 한 자

[3] #2 1.NBT.B.2 이제 자리 숫자 합이 $3$인 두 자리 수를 센다. $x$를 십의 자리 $a$($1$부터 $9$)와 일의 자리 $b$($0$부터 $9$)로 쓰고

[4] #2 1.NBT.B.2 다음으로 자리 숫자 합이 $12$인 두 자리 수를 센다. 다시 십의 자리 $a$($1$부터 $9$)와 일의 자리 $b$($0$부터 $9$)로 $

[5] #7 2.OA.A.1 두 경우 $s=3$과 $s=12$는 절대 겹치지 않는다. 한 수의 자리합은 하나의 값이므로 어떤 $x$도 두 번 세어지지 않는다. 개수를 더하면

검토

합리성 확인: 개수 $10$은 가능한 범위 안에 충분히 들어온다. 두 자리 수는 $90$개이고 특정한 이중 자리합을 요구하면 소수만 남을 것이므로 $10$은 합리적이다. 두 경계 원소를 확인해 보면 $12 \to \clubsuit(12)=3 \to \clubsuit(3)=3$ ✓, 그리고 $93 \to \clubsuit(93)=12 \to \clubsuit(12)=3$ ✓이다. 두 목록도 서로 일관적이다. 자리합 $3$과 $12$는 $1$–$18$ 중 자리 숫자가 더해서 $3$이 되는 값 전부이므로 빠뜨린 것도, 잘못 들어온 것도 없다.

대안 접근: $s$라는 이름을 쓰지 않고 첫 자리합으로 바로 분류해도 된다. 두 자리 수를 자리합 $1,2,\dots,18$로 묶으면, 바깥쪽 조건 $\clubsuit(s)=3$은 합이 $3$ 또는 $12$인 묶음만 고른다. '합 $=3$' 묶음은 $3$개, '합 $=12$' 묶음은 $7$개이므로 다시 $3+7=10$이다. 같은 분할을 자리합 묶음 표로 정리한 것이다(도구 #15, 다르게 정리하기).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

1.NBT.B.2 Understand that the two digits of a two-digit number represent tens and ones ($x$를 십의 자리와 일의 자리로 나누어 자리합의 범위($1$–$18$)를 정하고, 주어진 자리합을 갖는 수를 모두 나열하는 데 사용.)
2.OA.B.2 Fluently add and subtract within 20 using mental strategies (자리 숫자를 더해 $\clubsuit(s)=3$을 확인하고 안쪽 합을 $s=3$ 또는 $s=12$로 좁히는 데 사용.)
2.OA.A.1 Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 (겹치지 않는 두 개수 $3 + 7 = 10$을 합치는 데 사용.)

⭐ 바깥에서 안으로 거꾸로 생각하자. 첫 자리합이 무엇이어야 하는지($3$ 또는 $12$) 알아낸 뒤, 각각에 맞는 두 자리 수를 나열하고 개수를 더한다.