AMC 10 · 2003 · #2

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Al은 algebritis라는 병에 걸려 2주 동안 매일 초록색 알약 하나와 분홍색 알약 하나를 먹어야 한다. 초록색 알약은 분홍색 알약보다 $$ $1$ 더 비싸고, 2주 동안 Al의 약값은 모두 합쳐 $\textdollar 546$ 이다. 초록색 알약 하나의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar 7$

(B)

$\textdollar 14$

(C)

$\textdollar 19$

(D)

$\textdollar 20$

(E)

$\textdollar 39$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Al은 2주 동안 매일 초록색 알약 하나와 분홍색 알약 하나를 먹습니다. 초록색 알약은 분홍색 알약보다 $\$1$ 더 비싸고, 2주치 전체 값은 $\$546$ 입니다. 초록색 알약 하나의 값을 구하세요.

주어진 것: 약을 2주 동안 매일 먹음; 매일 초록색 알약 하나와 분홍색 알약 하나를 정확히 먹음; 초록색 알약은 분홍색 알약보다 $\$1$ 더 비쌈; 2주치 전체 값은 $\$546$; 선택지: (A) $\$7$, (B) $\$14$, (C) $\$19$, (D) $\$20$, (E) $\$39$

구하는 것: 초록색 알약 하나의 값(달러)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

$\$546$ 은 $14$ 일치를 한꺼번에 담고 있어 바로 다루기엔 너무 큽니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 쉬운 세 겹으로 나눕니다: 며칠인지, 하루치 한 쌍의 값, 그 쌍을 두 알약으로 나누기. 도구 #8(단위 살펴보기)은 가운데 단계를 붙잡아 줍니다 — 이 돈은 초록+분홍 한 쌍에 대한 하루당 달러이므로, 전체를 날수로 나누면 하루치 쌍의 값이 나옵니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 $\$39$(선택지 (E))가 초록색 알약 하나가 아니라 한 쌍의 값이라는 내장된 함정을 잡아 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.2 단계 1

날수와 알약 수 세기

2주는 $2\times7=14$ 일입니다.
매일 초록색 알약 하나와 분홍색 알약 하나를 먹으므로 2주치는 초록색 알약 $14$ 개와 분홍색 알약 $14$ 개입니다.
날마다 묶으면, $\$546$ 은 똑같은 하루치 쌍 $14$ 개의 값이고, 한 쌍은 초록색 알약 하나 더하기 분홍색 알약 하나입니다.

$$2\text{주}=14\text{일}\;\Rightarrow\;14\text{개의 (초록 + 분홍) 쌍}$$

💡 알약을 하루치 쌍으로 묶으면 2주 청구서가 똑같은 작은 구매 $14$ 번으로 바뀝니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.6 단계 2

하루치 값 구하기

$14$ 개의 쌍이 모두 합쳐 $\$546$ 이고 각 쌍의 값이 같으므로, 한 쌍의 값은 $546\div14$ 입니다. 나누면 $546\div14=39$ 입니다. 그래서 초록색 알약 하나와 분홍색 알약 하나를 합치면 $\$39$ 입니다.

$546\div14=39\;\Rightarrow\;\text{초록}+\text{분홍}=\$39$

💡 고정된 전체를 같은 크기의 묶음으로 고르게 나누는 것은 바로 나눗셈입니다: 전체 달러를 날수로 나눔.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

$\$1$ 차이로 한 쌍 나누기

한 쌍의 두 알약을 더하면 $\$39$ 이고, 초록색이 분홍색보다 $\$1$ 더 비쌉니다.
그 여분의 $\$1$ 을 먼저 떼어 냅니다: $39-1=38$ 은 두 알약이 모두 더 싼 분홍색 값일 때 — 즉 분홍색 알약 두 개일 때의 값입니다. 그래서 분홍색 알약 하나는 $38\div2=19$ 달러이고, 초록색 알약은 $\$1$ 더 비싼 $19+1=20$ 달러입니다.

$$\text{분홍}=\dfrac{39-1}{2}=19,\qquad \text{초록}=19+1=20$$

💡 차이를 먼저 없애 두 부분을 같게 만들고, 나머지를 반으로 나눈 뒤, 큰 쪽에 차이를 되돌려 줍니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

확인하고 답 고르기

값이 맞는지 확인합니다: 초록 $\$20$ 더하기 분홍 $\$19$ 은 하루 $\$39$ 이고, $39\times14=546$ 달러로 2주치가 되어 주어진 전체 값과 정확히 같습니다. 초록색 알약은 $\$20$ 이며 이는 선택지 (D)입니다.
함정에 주의: $\$39$(선택지 (E))는 초록색 알약이 아니라 하루치 쌍 전체의 값이고, $\$19$(선택지 (C))는 분홍색 알약입니다.

$39\times14=546\;\checkmark\;\Rightarrow\;\text{초록}=\$20=\textbf{(D)}$

💡 곱해서 되돌려 보면 나눔이 맞는지 빠르게 확인되고, 각 오답이 실제로 무엇을 재는지 이름 붙이면 지워집니다.

[1] #7 4.MD.A.2 2주는 $2\times7=14$ 일입니다. 매일 초록색 알약 하나와 분홍색 알약 하나를 먹으므로 2주치는 초록색 알약 $14$ 개와 분홍색 알약

[2] #8 5.NBT.B.6 $14$ 개의 쌍이 모두 합쳐 $\$546$ 이고 각 쌍의 값이 같으므로, 한 쌍의 값은 $546\div14$ 입니다. 나누면 $546\div1

[3] #7 4.OA.A.3 한 쌍의 두 알약을 더하면 $\$39$ 이고, 초록색이 분홍색보다 $\$1$ 더 비쌉니다. 그 여분의 $\$1$ 을 먼저 떼어 냅니다: $39-

[4] #3 4.OA.A.3 값이 맞는지 확인합니다: 초록 $\$20$ 더하기 분홍 $\$19$ 은 하루 $\$39$ 이고, $39\times14=546$ 달러로 2주치가

검토

합리성 확인: 하루치 쌍은 $\$39$ 이고 두 알약은 $\$1$ 밖에 차이 나지 않아 거의 같으므로, 각각은 $\$39$ 의 절반인 $\$19.50$ 근처여야 합니다. 초록색 $\$20$ 과 분홍색 $\$19$ 은 그 절반 언저리에 놓이고 정확히 $\$1$ 차이가 나므로 답이 타당합니다. 작은 선택지 (A) $\$7$ 과 (B) $\$14$ 은 쌍의 절반보다 훨씬 아래여서 될 수 없고, (E) $\$39$ 은 쌍 전체 — 알약 하나로는 세 배나 큽니다.

대안 접근: 대수를 씁니다: 분홍색 알약 값을 $p$ 달러라 하면 초록색 알약은 $p+1$ 입니다. 하루치 쌍은 $p+(p+1)=2p+1$ 이고, $14$ 일치는 $14(2p+1)=546$ 입니다. 나누면 $2p+1=39$, 그래서 $2p=38$, $p=19$ 이고, 초록색 알약은 $p+1=20$ 달러, 선택지 (D)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈이 포함된 문장제를 해결한다 ("2주 동안 매일 초록 하나 분홍 하나"를 $\$546$ 전체를 나눠 갖는 $14$ 개의 같은 하루치 쌍으로 바꾸는 데 사용.)
5.NBT.B.6 네 자리 이하 피제수와 두 자리 제수의 자연수 몫을 구한다 ($546\div14=39$ 를 나눠 하루치 초록+분홍 쌍의 값을 구하는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수의 네 가지 연산을 사용하여 여러 단계의 문장제를 해결한다 ($\$1$ 차이로 $\$39$ 쌍을 나누고($\tfrac{39-1}{2}=19$, 그다음 $+1=20$) $39\times14=546$ 을 확인하는 데 사용.)

⭐ 두 값의 합을 알고 그 차이도 알 때는, 차이를 먼저 떼어 내고 나머지를 반으로 나눈 다음, 큰 쪽에 그 차이를 되돌려 주면 됩니다.