AMC 10 · 2005 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

percentage complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

새 학년이 시작될 때, Lisa의 목표는 한 해 동안 보는 $50$ 개의 쪽지시험 중 적어도 $80\%$ 에서 $A$ 를 받는 것이었습니다. 그녀는 처음 $30$ 개의 쪽지시험 중 $22$ 개에서 $A$ 를 받았습니다. 목표를 이루려면, 남은 쪽지시험 중 $A$ 보다 낮은 점수를 받아도 되는 것은 최대 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 리사는 한 해 동안 보는 쪽지시험 50개 중 적어도 80%에서 A를 받는 것이 목표입니다. 처음 30개 중 22개에서 이미 A를 받았습니다. 목표를 이루려면 남은 쪽지시험 중 A보다 낮은 점수를 받아도 되는 것은 최대 몇 개인지 구하세요.

주어진 것: 쪽지시험은 모두 50개이다; 목표는 그중 적어도 80%에서 A를 받는 것이다; 처음 30개 중 22개에서 A를 받았다; 선택지: (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5

구하는 것: 남은 쪽지시험 중 A보다 낮은 점수를 받아도 되는 것이 최대 몇 개인가

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제는 A보다 낮은 쪽지시험의 개수를 묻지만 목표는 A의 개수로 주어져 있습니다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기)으로 초점을 뒤집습니다. 먼저 A를 몇 개 더 받아야 하는지 확정하면, A보다 낮은 쪽지시험은 남은 것 중 그저 남는 부분일 뿐입니다. 그 A의 개수를 구하려고 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 잘게 나눕니다. 필요한 A 총개수, 이미 받은 A, 아직 더 받아야 할 A, 그리고 마지막으로 남는 부분입니다. 각 조각이 짧은 계산 한 번이므로 방정식이 필요 없습니다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 1

80%를 개수로 바꾸기

목표는 쪽지시험 50개 중 적어도 80%에서 A를 받는 것입니다.
이 백분율을 실제 개수로 바꾸려면 50의 80%를 구합니다: $0.80 \times 50 = 40$.
그러므로 한 해 전체에서 적어도 40개의 A가 필요합니다.

$$\tfrac{80}{100} \times 50 = 40 \text{ (필요한 A)}$$

💡 전체의 백분율은 전체의 일부분일 뿐이므로, 50의 80%는 구체적인 쪽지시험 개수가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

이미 받은 A를 빼기

그녀는 이미 22개에서 A를 받았습니다.
총 40개의 A가 필요하므로 아직 더 받아야 할 개수는 그 차이입니다: $40 - 22 = 18$.
즉 18개에서 A를 더 받아야 합니다.

$$40 - 22 = 18 \text{ (더 받아야 할 A)}$$

💡 이미 받아 둔 A만큼 목표가 그대로 줄어든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

남은 쪽지시험 세기

50개 중 30개를 이미 봤으므로 남은 쪽지시험은 $50 - 30 = 20$개입니다.
이 20개가 A를 18개 더 받기 위해 남은 전부입니다.

$$50 - 30 = 20 \text{ (남은 쪽지시험)}$$

💡 아직 보지 않은 쪽지시험만이 총합을 바꿀 수 있다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 4

남는 부분이 A 미만 한도

남은 20개 중 18개를 A로 만들어야 합니다.
그러고 남는 것은 A보다 낮아도 됩니다.
그 남는 개수는 $20 - 18 = 2$입니다.
따라서 남은 쪽지시험 중 A보다 낮은 점수를 받아도 되는 것은 최대 2개이며, 이는 선택지 (B)입니다.

$$20 - 18 = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 남은 쪽지시험은 필요한 A이거나 여분이며, 그 여분이 A 미만이 될 수 있는 몫이다.

[1] #16 6.RP.A.3 목표는 쪽지시험 50개 중 적어도 80%에서 A를 받는 것입니다. 이 백분율을 실제 개수로 바꾸려면 50의 80%를 구합니다: $0.80 \ti

[2] #7 4.OA.A.3 그녀는 이미 22개에서 A를 받았습니다. 총 40개의 A가 필요하므로 아직 더 받아야 할 개수는 그 차이입니다: $40 - 22 = 18$. 즉

[3] #7 4.OA.A.3 50개 중 30개를 이미 봤으므로 남은 쪽지시험은 $50 - 30 = 20$개입니다. 이 20개가 A를 18개 더 받기 위해 남은 전부입니다.

[4] #16 4.OA.A.3 남은 20개 중 18개를 A로 만들어야 합니다. 그러고 남는 것은 A보다 낮아도 됩니다. 그 남는 개수는 $20 - 18 = 2$입니다. 따라서

검토

합리성 확인: 지금까지는 30개 중 22개, 약 73%에서 A를 받아 목표 80%에 못 미칩니다. 그러니 남은 시험에서 눈에 띄게 더 잘해야 하고, 20개 중 18개(90%)를 A로 받아야 한다는 것이 이와 맞습니다. 여유가 거의 없으므로 2 같은 작은 답이 자연스럽고, 4나 5는 너무 후합니다. 함정 답은 중간에 멈춘 값입니다. 8은 처음 30개에서 이미 A 미만이었던 개수이고, 18은 더 받아야 할 A의 개수인데, 둘 다 문제가 묻는 값이 아닙니다. 남는 2가 선택지 (B)입니다.

대안 접근: 대신 한 해 전체의 A 미만 개수를 세어 봅니다. 50개 중 40개를 A로 받으려면 한 해 동안 A 미만은 최대 $50 - 40 = 10$개까지 허용됩니다. 그런데 처음 30개에서 이미 $30 - 22 = 8$개를 썼습니다. 그러므로 남은 시험에서 아직 쓸 수 있는 A 미만은 $10 - 8 = 2$개로, 똑같이 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world problems, including finding a percent of a quantity ('쪽지시험 50개의 80%'라는 목표를 필요한 A 40개라는 구체적 개수로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multistep word problems posed with whole numbers using the four operations (더 받아야 할 A(40 - 22), 남은 쪽지시험(50 - 30), 남는 A 미만 한도(20 - 18)를 빼서 구하는 데 사용.)

⭐ 목표가 어떤 한 가지로 정해져 있으면 그것부터 세라. 정작 묻는 답은 흔히 남는 부분일 뿐이다.