AMC 10 · 2003 · #1
학년 6 arithmetic다음 중 아래 식과 같은 것은?
3−6+9−12+15−18+212−4+6−8+10−12+14?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 하나의 분수 $\dfrac{2-4+6-8+10-12+14}{3-6+9-12+15-18+21}$ 을 간단히 하여 주어진 값 중 하나와 맞춰라.
주어진 것: 분자: $2-4+6-8+10-12+14$; 분모: $3-6+9-12+15-18+21$; 선택지: (A) $-1$, (B) $-\dfrac{2}{3}$, (C) $\dfrac{2}{3}$, (D) $1$, (E) $\dfrac{14}{3}$
구하는 것: 이 분수 전체가 같아지는 하나의 값
이해
문제 재정리: 하나의 분수 $\dfrac{2-4+6-8+10-12+14}{3-6+9-12+15-18+21}$ 을 간단히 하여 주어진 값 중 하나와 맞춰라.
주어진 것: 분자: $2-4+6-8+10-12+14$; 분모: $3-6+9-12+15-18+21$; 선택지: (A) $-1$, (B) $-\dfrac{2}{3}$, (C) $\dfrac{2}{3}$, (D) $1$, (E) $\dfrac{14}{3}$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
부호가 있는 일곱 개의 수를 분자에서, 또 일곱 개를 분모에서 더하는 것은 느리고 실수하기 쉽다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 목록이 같은 수열을 서로 다르게 늘린 것임을 알아챈다 — 분자는 $2,4,6,\dots$, 분모는 $3,6,9,\dots$ — 그래서 분자는 항마다 분모의 일정한 비율이 된다. 그 일정한 비율이 곧 답이며, 음수 덧셈은 전혀 필요 없다. 도구 #3(가능성 지우기)은 부호를 확인한다: 분자와 분모의 부호 패턴이 똑같으므로 몫은 양수가 되어 음수 선택지 (A)와 (B)를 지운다.
실행 — 정답: C
4.OA.B.4 단계 1 분자와 분모를 나란히 맞추기
- 두 목록을 자리별로 나란히 읽는다.
- 분자는 부호 $+,-,+,-,+,-,+$ 를 가진 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ 이고, 분모는 똑같은 부호를 가진 $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$ 이다.
- 분자의 수는 $2$의 배수, 분모의 수는 $3$의 배수이다.
- 같은 일곱 자리, 자리마다 같은 부호.
💡 무엇을 더하기 전에, 분자와 분모가 $2$와 $3$으로 만든 같은 패턴임을 알아챈다.
4.NF.A.1 단계 2 분자의 각 항은 분모 항의 2/3
- 맞춰진 각 쌍을 분수로 비교한다.
- $\dfrac{2}{3}$, 다음 $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$, 다음 $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$, 이렇게 $\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$ 까지 계속된다.
- 분자의 모든 수는 바로 아래 놓인 분모 수의 정확히 $\dfrac{2}{3}$ 이다 — 음수 항도 마찬가지인데, $-4=\dfrac{2}{3}\cdot(-6)$ 이기 때문이다.
💡 맞춰진 모든 항의 쌍에서 같은 비율 $2:3$ 이 나타난다.
6.EE.A.3 단계 3 분자 전체에서 2/3 를 빼내기
- 분자의 모든 항이 아래 맞춰진 분모 항의 $\dfrac{2}{3}$ 이므로, 그 $\dfrac{2}{3}$ 을 분자 전체에서 빼낸다.
- 괄호 안에 남는 합은 정확히 분모와 같아서 약분되고, 일곱 개의 부호 있는 수를 더할 필요가 전혀 없다.
- 분수 전체가 $\dfrac{2}{3}$ 로 줄어들며, 이것이 선택지 (C)이다.
💡 합의 모든 항에 $\tfrac{2}{3}$ 을 곱하면 합 전체가 $\tfrac{2}{3}$ 배가 되므로, 비율은 $\tfrac{2}{3}$ 이다.
4.OA.B.4 두 목록을 자리별로 나란히 읽는다. 분자는 부호 $+,-,+,-,+,-,+$ 를 가진 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ 이고, 분모는 4.NF.A.1 맞춰진 각 쌍을 분수로 비교한다. $\dfrac{2}{3}$, 다음 $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$, 다음 $\dfrac{6} 6.EE.A.3 분자의 모든 항이 아래 맞춰진 분모 항의 $\dfrac{2}{3}$ 이므로, 그 $\dfrac{2}{3}$ 을 분자 전체에서 빼낸다. 괄호 안에 검토
합리성 확인: 분자와 분모의 부호 패턴이 똑같으므로 분수는 반드시 양수가 되어야 한다 — 이것만으로 (A) $-1$ 과 (B) $-\tfrac{2}{3}$ 이 지워진다. 분자의 수($2$들)가 맞춰진 분모의 수($3$들)보다 작으므로 분수는 $1$보다 작고, (D) $1$ 과 (E) $\tfrac{14}{3}$ 이 지워진다. $1$보다 작은 양수로 남는 것은 (C) $\tfrac{2}{3}$ 뿐이며, 이는 항별 비율과 일치한다.
대안 접근: 그냥 더하고 싶다면 각 합을 직접 계산한다: 분자는 $2-4+6-8+10-12+14=8$, 분모는 $3-6+9-12+15-18+21=12$ 이다. 그러면 $\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ 로 다시 (C)에 도달한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4약수와 배수에 익숙해지기 (분자의 수를 $2$의 배수로, 분모의 수를 $3$의 배수로 자리마다 맞춰 인식하기.)4.NF.A.1분수의 동치 a/b = (n×a)/(n×b) 설명하기 (맞춰진 각 쌍이 같은 값으로 약분됨을 보기, $\tfrac{4}{6}=\tfrac{6}{9}=\dots=\tfrac{2}{3}$.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 (분자 전체에서 $\tfrac{2}{3}$ 을 빼내어 분모가 약분되고 분수가 $\tfrac{2}{3}$ 이 되게 하기.)
⭐ 위쪽 각 항이 바로 아래 항의 같은 분수 배일 때, 그 분수가 전체의 답이다 — 아무것도 더할 필요가 없다.
⭐ 위쪽 각 항이 바로 아래 항의 같은 분수 배일 때, 그 분수가 전체의 답이다 — 아무것도 더할 필요가 없다.
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