AMC 10 · 2006 · #3

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

ratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

Mary의 나이와 Alice의 나이의 비는 $3:5$ 이다. Alice는 $30$ 살이다. Mary는 몇 살인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 메리의 나이와 앨리스의 나이의 비가 $3:5$ 이다. 앨리스는 $30$ 살이다. 메리의 나이를 구한다.

주어진 것: 메리의 나이와 앨리스의 나이의 비는 $3:5$ 이다; 앨리스는 $30$ 살이다; 선택지: (A) $15$, (B) $18$, (C) $20$, (D) $24$, (E) $50$

구하는 것: 메리의 나이(살)

이해

문제 재정리: 메리의 나이와 앨리스의 나이의 비가 $3:5$ 이다. 앨리스는 $30$ 살이다. 메리의 나이를 구한다.

주어진 것: 메리의 나이와 앨리스의 나이의 비는 $3:5$ 이다; 앨리스는 $30$ 살이다; 선택지: (A) $15$, (B) $18$, (C) $20$, (D) $24$, (E) $50$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

비 $3:5$ 는 사실 크기가 같은 몫들의 모음이다. 메리는 $3$ 몫, 앨리스는 $5$ 몫을 가진다. 도구 #4(변수 도입하기)로 한 몫의 크기를 $x$ 라 하면 메리 $=3x$, 앨리스 $=5x$ 가 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '앨리스는 $30$ 살'이라는 사실을 식 $5x=30$ 으로 바꾸면 $x$ 가 정해진다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 빠르게 점검하면, 메리는 비에서 작은 쪽이므로 $30$ 보다 어려야 하고, 따라서 (E) $50$ 은 곧바로 지워진다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.RP.A.1 단계 1

나이를 같은 몫으로 나누기

비 $3:5$ 를 크기가 같은 '년(年) 몫'으로 읽는다.
메리의 나이는 $3$ 몫, 앨리스의 나이는 $5$ 몫으로 이루어지고 각 몫의 크기는 모두 같다.
그 몫의 크기를 $x$ 살이라 하면 메리 $=3x$, 앨리스 $=5x$ 이다.

$$\text{메리} = 3x, \qquad \text{앨리스} = 5x$$

💡 비는 두 나이를 똑같은 크기의 블록으로 자를 뿐 — 메리는 $3$ 블록, 앨리스는 $5$ 블록이다.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 2

앨리스의 나이로 한 몫 크기 정하기

앨리스는 $30$ 살이고 $5$ 몫이므로 $5x = 30$ 이다.
양변을 $5$ 로 나누면 $x = 6$ 이다.
한 몫은 $6$ 살에 해당한다.

$$5x = 30 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{30}{5} = 6$$

💡 같은 블록 $5$ 개가 $30$ 을 만든다면 블록 하나는 $30 \div 5 = 6$ 이어야 한다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 3

메리의 나이 만들고 확인하기

메리는 $3$ 몫이고 각 몫이 $6$ 살이므로 메리 $= 3 \times 6 = 18$ 살이다.
이것이 선택지 (B)다.
확인: 메리는 비가 요구하는 대로 앨리스보다 어리고, $18:30$ 은 $3:5$ 로 약분된다.
메리는 $30$ 보다 작아야 하므로 (E) $50$ 은 처음부터 불가능했다.

$$\text{메리} = 3x = 3 \times 6 = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $6$ 살짜리 블록 세 개가 쌓여 $18$ 이 되고, $18:30$ 은 그대로 $3:5$ 로 되돌아간다.

[1] #4 6.RP.A.1 비 $3:5$ 를 크기가 같은 '년(年) 몫'으로 읽는다. 메리의 나이는 $3$ 몫, 앨리스의 나이는 $5$ 몫으로 이루어지고 각 몫의 크기는

[2] #13 6.RP.A.3 앨리스는 $30$ 살이고 $5$ 몫이므로 $5x = 30$ 이다. 양변을 $5$ 로 나누면 $x = 6$ 이다. 한 몫은 $6$ 살에 해당한다.

[3] #3 6.RP.A.3 메리는 $3$ 몫이고 각 몫이 $6$ 살이므로 메리 $= 3 \times 6 = 18$ 살이다. 이것이 선택지 (B)다. 확인: 메리는 비가 요

검토

합리성 확인: 메리는 비에서 작은 쪽이므로 그 나이는 앨리스의 $30$ 보다 낮아야 한다 — 이것만으로 (E) $50$ 이 한눈에 지워지고 답이 낮은 범위에 있음을 알 수 있다. 결과를 검산하면 $18:30$ 은 양쪽을 $6$ 으로 나눠 $3:5$ 가 되어 문제의 비와 정확히 일치하므로 $18$ 은 모순이 없다. 다른 작은 선택지들은 이 검산을 통과하지 못한다 — 예를 들어 $15:30 = 1:2$, $20:30 = 2:3$ 으로 어느 것도 $3:5$ 가 아니다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 비를 곧바로 확대한다. 비에서 앨리스의 몫은 $5$ 이고 실제 나이는 $30$ 이므로, 비에 $30 \div 5 = 6$ 을 곱해 실제 나이가 되었다. 같은 배수를 메리의 몫에 적용하면 $3 \times 6 = 18$ 이다. 또는 분수로 보면 메리는 앨리스의 $\tfrac{3}{5}$ 이므로 $\tfrac{3}{5} \times 30 = 18$ 이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language ($3:5$ 를 같은 크기의 년(年) 몫으로 읽어 메리 $=3x$, 앨리스 $=5x$ 로 두기.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($5x=30$ 에서 한 몫 크기를 정하고 메리의 나이 $3 \times 6 = 18$ 로 확대하기.)

⭐ 비는 두 양을 같은 크기의 몫으로 나눈다 — 아는 수에서 한 몫의 크기를 구한 뒤 곱해서 원하는 값을 얻어라.