AMC 10 · 2006 · #16

학년 4 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Calendar Day Lookup

modular-arithmeticsystematic-enumerationmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

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문제

윤일(Leap Day)인 February $29$ , $2004$ 은 일요일이었다. 윤일인 February $29$ , $2020$ 은 무슨 요일에 해당하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textrm{Tuesday}$

(B)

$\textrm{Wednesday}$

(C)

$\textrm{Thursday}$

(D)

$\textrm{Friday}$

(E)

$\textrm{Saturday}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 윤일인 2004년 2월 29일은 일요일이었다. 그로부터 16년 뒤의 윤일인 2020년 2월 29일이 무슨 요일인지 알아내는 문제이다.

주어진 것: 2004년 2월 29일은 일요일이었다; 구하려는 날짜는 윤일인 2020년 2월 29일이다; 평년은 $365$일이고, 윤년(2월 29일이 있는 해)은 $366$일이다; 여기서 윤일은 $2008$년, $2012$년, $2016$년, $2020$년에 있다; 선택지: (A) 화요일, (B) 수요일, (C) 목요일, (D) 금요일, (E) 토요일

구하는 것: 2020년 2월 29일의 요일

이해

문제 재정리: 윤일인 2004년 2월 29일은 일요일이었다. 그로부터 16년 뒤의 윤일인 2020년 2월 29일이 무슨 요일인지 알아내는 문제이다.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

이 문제는 시간이 지남에 따라 요일이 어떻게 앞으로 밀려나는지를 다루므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심이다. 핵심 패턴은 평범한 한 해가 지날 때마다 요일이 정확히 $1$일씩 앞으로 밀린다는 것인데, $365$가 몇 주 전체보다 딱 하루 더 많기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 전체 날수를 두 조각 — $16$년에서 오는 이동과 그 사이 윤일에서 오는 추가 이동 — 으로 나누어 하루하루 셀 필요가 없게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 형식에 맞는다. 요일 이동이 정해지면 일요일에서 앞으로 나아갈 때 다섯 선택지 중 정확히 하나를 가리키기 때문이다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

16년의 간격을 잰다

2004년에서 2020년까지는 $2020-2004=16$년이다.
미래 날짜의 요일은 이미 아는 날짜로부터 며칠이 지났는지에만 달려 있다.
요일 주기는 $7$일마다 반복되므로, 정말로 필요한 것은 두 윤일 사이의 전체 날수와 그것을 $7$로 나눈 나머지이다.
이 전체 날수를 두 조각으로 만든다.
온전한 해들에서 오는 날수와, 그 사이 윤일에서 오는 추가 날수이다.

$$2020-2004 = 16\text{년}$$

💡 요일은 7일짜리 온전한 주를 최대한 채우고 남는 날수에만 신경 쓴다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 2

한 해는 요일을 하루 앞으로 민다

평년은 $365$일이고, $365 = 52\times 7 + 1$이다.
그래서 $365$일은 정확히 $52$주 전체에 하루가 더 있는 것이고, 이 하루가 요일을 $1$일 앞으로 민다.
두 윤일 사이의 $16$년 동안 이는 지금까지 $16$번의 앞으로 밀림, 즉 해마다 한 번씩이다.

$$365 = 52\times 7 + 1\ \Rightarrow\ 16\text{년은 }16\text{일의 추가}$$

💡 한 해는 몇 주 전체보다 하루 더 많으므로, 달력은 해마다 요일이 하루씩 앞으로 밀린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

윤일마다 덤으로 하루를 더한다

윤년은 하루가 더 있다 — 2월 29일 — 그래서 내가 지나치는 윤일마다 $16$일 위에 앞으로 밀림이 한 번씩 더해진다.
2004년 2월 29일과 2020년 2월 29일 사이의 윤일은 $2008$년, $2012$년, $2016$년, $2020$년에 있으며 이는 $4$개의 윤일이다.
그래서 $4$일을 더 더한다.

$$2008,\ 2012,\ 2016,\ 2020\ \Rightarrow\ 4\text{개의 윤일}\ \Rightarrow\ +4\text{일 추가}$$

💡 지나치는 2월 29일 하나하나가 달력이 밀려야 하는 덤 하루이다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 4

이동을 모두 더하고 나머지를 구한다

앞으로 밀리는 전체 이동은 $16 + 4 = 20$일이다.
요일은 $7$일마다 반복되므로 $7$로 나누고 나머지를 남긴다.
$20 = 2\times 7 + 6$이므로 나머지는 $6$이다.
온전한 두 주($14$일)는 아무것도 바꾸지 않고, 남은 $6$일만이 실제로 요일을 옮긴다.

$$16+4 = 20,\qquad 20 = 2\times 7 + 6$$

💡 온전한 주는 버려도 손해가 없으므로, 7로 나눈 나머지만이 중요하다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 5

일요일에서 앞으로 6일 센다

일요일에서 시작해 앞으로 $6$일 나아간다.
월요일 $(1)$, 화요일 $(2)$, 수요일 $(3)$, 목요일 $(4)$, 금요일 $(5)$, 토요일 $(6)$.
그래서 2020년 2월 29일은 토요일이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$\text{일요일}+6\text{일} = \text{토요일}\ \Rightarrow\ \textbf{(E)}$$

💡 일요일에서 7일 주기를 여섯 걸음 돌면 일요일 바로 앞 날인 토요일에 도착한다.

[1] #7 4.OA.A.3 2004년에서 2020년까지는 $2020-2004=16$년이다. 미래 날짜의 요일은 이미 아는 날짜로부터 며칠이 지났는지에만 달려 있다. 요일

[2] #5 4.NBT.B.6 평년은 $365$일이고, $365 = 52\times 7 + 1$이다. 그래서 $365$일은 정확히 $52$주 전체에 하루가 더 있는 것이고,

[3] #7 4.OA.A.3 윤년은 하루가 더 있다 — 2월 29일 — 그래서 내가 지나치는 윤일마다 $16$일 위에 앞으로 밀림이 한 번씩 더해진다. 2004년 2월 29

[4] #5 4.NBT.B.6 앞으로 밀리는 전체 이동은 $16 + 4 = 20$일이다. 요일은 $7$일마다 반복되므로 $7$로 나누고 나머지를 남긴다. $20 = 2\tim

[5] #3 4.OA.C.5 일요일에서 시작해 앞으로 $6$일 나아간다. 월요일 $(1)$, 화요일 $(2)$, 수요일 $(3)$, 목요일 $(4)$, 금요일 $(5)$,

검토

합리성 확인: 직접 세어 봐도 일치한다. 전체 날수는 $16\times 365 + 4 = 5840 + 4 = 5844$이고 $5844 = 834\times 7 + 6$으로 다시 나머지가 $6$, 즉 토요일이다. 또한 답이 온전한 한 주에서 하루 모자란다는 점도 자연스럽다. $20$일은 $21 = 3\times 7$보다 딱 $1$ 모자라므로, 요일은 일요일보다 하루 앞, 즉 토요일에 놓인다.

대안 접근: 해들을 네 개의 4년 윤년 주기 $2004\to2008\to2012\to2016\to2020$으로 묶는다. 각 주기는 평년 $3$개와 윤년 $1$개를 담으므로 $3(365)+366 = 1461$일이고, $1461 = 208\times 7 + 5$로 주기마다 $5$일 이동한다. 네 주기는 $4\times 5 = 20$일의 이동을 주고, $20 = 2\times 7 + 6$으로 같은 나머지 $6$을 남겨 토요일에 도착한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 네 가지 연산으로 여러 단계의 문장제를 풀고 나머지를 해석하기 (16년의 간격을 세우고, $4$개의 윤일을 세며, 마지막 나머지를 요일로 해석하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 자연수의 몫과 나머지 구하기 ($365 = 52\times 7 + 1$이므로 해마다 요일이 $1$일 밀린다는 것을 보고, 전체 이동 $20 = 2\times 7 + 6$을 나머지 $6$으로 줄이는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 패턴 만들고 활용하기 (반복되는 7일 요일 주기를 이용해 일요일에서 $6$일 앞으로 나아가 토요일에 도착하는 데 사용.)

⭐ 날짜를 먼 미래로 건너뛰려면 전체 날수를 세라 — 해마다 하루, 그리고 지나치는 2월 29일마다 하루 더 — 그다음 7로 나누면, 남는 날수만이 요일을 앞으로 옮긴다.