AMC 10 · 2006 · #3

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

systems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

Cougars와 Panthers 두 팀이 미식축구 경기를 했다. 두 팀이 얻은 점수의 합은 $34$ 점이고, Cougars가 $14$ 점 차이로 이겼다. Panthers는 몇 점을 얻었는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 팀이 합쳐서 $34$ 점을 얻었습니다. 이긴 팀이 진 팀보다 $14$ 점을 더 얻었습니다. 진 팀(팬서스)이 몇 점을 얻었는지 구하세요.

주어진 것: 쿠거스와 팬서스가 합쳐서 $34$ 점을 얻음; 쿠거스가 $14$ 점 차이로 이겼으므로, 쿠거스는 팬서스보다 $14$ 점 더 얻음; 선택지: (A) $10$, (B) $14$, (C) $17$, (D) $20$, (E) $24$

구하는 것: 팬서스가 얻은 점수

이해

문제 재정리: 두 팀이 합쳐서 $34$ 점을 얻었습니다. 이긴 팀이 진 팀보다 $14$ 점을 더 얻었습니다. 진 팀(팬서스)이 몇 점을 얻었는지 구하세요.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

모르는 두 점수가 총합과 차이라는 두 사실로 묶여 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 팬서스의 점수를 $p$ 로 놓고 쿠거스의 점수를 $p+14$ 로 쓰면 말이 하나의 식으로 바뀝니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 구한 값을 두 사실에 대조하는데, 이는 진 팀의 점수 대신 이긴 팀의 점수 $24$ 나 무승부 값 $17$ 을 답하는 흔한 함정도 막아 줍니다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

모르는 점수에 이름 붙이기

팬서스가 얻은 점수를 $p$ 라고 합시다.
쿠거스는 팬서스보다 $14$ 점 더 얻었으므로 쿠거스의 점수는 $p+14$ 입니다.
이제 두 점수 모두 한 글자로 표현됩니다.

$$\text{팬서스}=p,\qquad \text{쿠거스}=p+14$$

💡 더 작은 점수에 이름을 한 번 붙이면 더 큰 점수는 거기서 써 낼 수 있어 미지수가 하나만 남습니다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 2

총합을 식으로 바꾸기

두 점수의 합은 $34$ 입니다.
각 점수를 식으로 바꿉니다: $p+(p+14)=34$.
두 $p$ 항을 합치면 $2p+14=34$ 가 됩니다.

$$p+(p+14)=34\;\Rightarrow\;2p+14=34$$

💡 두 팀의 점수를 더하면 주어진 총합이 나와야 하고, 이것이 $p$ 를 고정합니다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 3

팬서스의 점수 구하기

식을 한 단계씩 되돌립니다.
양변에서 $14$ 를 빼면 $2p=20$.
그다음 양변을 $2$ 로 나누면 $p=10$.
그래서 팬서스는 $10$ 점을 얻었습니다.

$$2p+14=34\;\Rightarrow\;2p=20\;\Rightarrow\;p=10$$

💡 $+14$ 와 $\times2$ 를 반대 순서로 벗겨 내면 $p$ 만 남습니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 4

두 사실을 확인하고 답 고르기

팬서스가 $10$ 점이면 쿠거스는 $10+14=24$ 점입니다.
합은 $10+24=34$ (맞음), 차이는 $24-10=14$ (맞음)입니다.
문제는 진 팀인 팬서스를 물었으므로 답은 $10$, 선택지 (A)입니다.
$24$ 는 쿠거스의 점수이고 $17$ 은 무승부일 때 각 팀의 점수로, 둘 다 함정입니다.

$$\text{쿠거스}=24,\quad 10+24=34,\quad 24-10=14\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 올바른 점수 짝은 총합과 차이를 동시에 만족해야 합니다.

[1] #4 6.EE.B.6 팬서스가 얻은 점수를 $p$ 라고 합시다. 쿠거스는 팬서스보다 $14$ 점 더 얻었으므로 쿠거스의 점수는 $p+14$ 입니다. 이제 두 점수 모

[2] #4 7.EE.B.4 두 점수의 합은 $34$ 입니다. 각 점수를 식으로 바꿉니다: $p+(p+14)=34$. 두 $p$ 항을 합치면 $2p+14=34$ 가 됩니다.

[3] #4 7.EE.B.4 식을 한 단계씩 되돌립니다. 양변에서 $14$ 를 빼면 $2p=20$. 그다음 양변을 $2$ 로 나누면 $p=10$. 그래서 팬서스는 $10$

[4] #3 6.EE.B.5 팬서스가 $10$ 점이면 쿠거스는 $10+14=24$ 점입니다. 합은 $10+24=34$ (맞음), 차이는 $24-10=14$ (맞음)입니다.

검토

합리성 확인: 팬서스는 진 팀이므로 점수가 $34$ 의 절반인 $17$ 보다 작아야 합니다. $10$ 은 실제로 $17$ 보다 작고, 선택지 (C) $17$, (D) $20$, (E) $24$ 는 모두 무승부 선 이상이라 진 팀의 점수가 될 수 없습니다. 구한 점수를 더하면 $10+24=34$ 이고 차이는 $14$ 로, 주어진 두 사실과 정확히 일치합니다.

대안 접근: 대수 없이 생각하기: 먼저 총합에서 $14$ 점 차이를 떼어 냅니다. $34-14=20$ 은 두 팀이 무승부일 때 나눠 가질 점수입니다. 이를 똑같이 나누면 $20\div2=10$ 으로 팬서스가 $10$ 점, 떼어 둔 $14$ 를 쿠거스에게 돌려주면 $10+14=24$ 점. 산수 두 단계로 같은 답 (A)에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 문제를 풀 때 변수로 수를 나타내고 식을 쓴다 (팬서스의 점수를 $p$ 로 놓고 쿠거스의 점수를 $p+14$ 로 쓰는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식을 세워 문제를 푼다 (총합에서 $2p+14=34$ 를 세우고 풀어 $p=10$ 을 얻는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식 풀이를 참이 되게 하는 값 찾기로 이해하고 대입하여 확인한다 ($p=10$ 을 다시 대입하여 총합이 $34$, 차이가 $14$ 임을 확인하는 데 사용.)

⭐ 총합과 차이를 알 때는 더 작은 값에 글자 하나로 이름을 붙이고 더 큰 값을 그 글자에 차이를 더한 것으로 쓰면, 식 하나로 둘 다 구할 수 있습니다.