AMC 10 · 2006 · #7

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticabsolute-valuesigned-square-root identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

x \lt 0

인 수

x

에 대하여, 식

\sqrt{\frac{x}{1-\frac{x-1}{x}}}

를 간단히 하여 어느 선택지와 같은지 정하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-x

(B)

(C)

(D)

$\sqrt{\frac{x}{2}}$

(E)

$x\sqrt{-1}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 제곱근 안에 분수가 겹쳐 있으므로 작은 조각으로 쪼갠다. 먼저 작은 분모를 정리하고, 그다음 나눗셈을 하고, 마지막으로 제곱근을 취한다. x가 음수이므로 마지막 단계에서 부호에 주의해야 한다. 그다음 x=-2 같은 시험값으로 결과를 확인하고 비슷하게 생긴 선택지들을 배제한다.

1STEP 1

분모를 정리한다

$1$ 을 $\frac{x}{x}$ 로 쓰고 분자를 빼면 $x-(x-1)=1$ 이므로, 분모 전체가 $\frac{1}{x}$ 로 줄어든다.

1-(x-1)/x=x/x-(x-1)/x=(x-(x-1))/x=1/x

2STEP 2

나눗셈을 한다

$\frac{1}{x}$ 로 나누는 것은 역수인 $x$ 를 곱하는 것과 같으므로, 근호 안은 $x^2$ 이 된다.

x/1/x=x · x=x²

3STEP 3

제곱근을 취한다

$\sqrt{x^2}$ 은 $x$ 와 $0$ 사이의 거리, 곧 절댓값 $|x|$ 이며 결코 음수가 아니다.

√(x²)=|x|

4STEP 4

x가 음수임을 이용한다

$x$ 가 음수이므로 $|x|$ 는 그 반대수 $-x$ , 곧 양수이다. $x=-2$ 로 확인하면 양쪽 다 $2$ 이니 (A)이다.

x ＜ 0 → |x|=-x

정답

-x

결과 -x는 x ＜ 0일 때 양수이며, 이는 실수 제곱근이 내놓아야 하는 값과 정확히 일치한다. x=-2를 넣으면 원래 식은 2가 되고 -x도 2가 되어 서로 맞는다. 선택지 (B) x는 음수가 되고, 선택지 (E) x√(-1)은 실수조차 아니므로 둘 다 실수 제곱근의 값이 될 수 없다.

💡핵심 정리

x²의 제곱근은 x의 크기이므로, x가 음수일 때 답은 양수로 나오는 -x이다.

분모를 정리한다
나눗셈을 한다
제곱근을 취한다
x가 음수임을 이용한다

분모를 정리한다

나눗셈을 한다

제곱근을 취한다

x가 음수임을 이용한다

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