AMC 10 · 2006 · #7

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticabsolute-valuesigned-square-root identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$x < 0$ 일 때, 다음 중 $\sqrt{\frac{x}{1-\frac{x-1}{x}}}$ 와 같은 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-x

(B)

(C)

(D)

$\sqrt{\frac{x}{2}}$

(E)

$x\sqrt{-1}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $x$가 음수일 때, 식 $\sqrt{\dfrac{x}{1-\frac{x-1}{x}}}$를 주어진 선택지 중 하나의 꼴로 간단히 하라.

주어진 것: 식 $\sqrt{\dfrac{x}{1-\frac{x-1}{x}}}$; $x < 0$

구하는 것: 모든 음수 $x$에 대해 이 식이 어느 선택지와 같은지

이해

문제 재정리: $x$가 음수일 때, 식 $\sqrt{\dfrac{x}{1-\frac{x-1}{x}}}$를 주어진 선택지 중 하나의 꼴로 간단히 하라.

주어진 것: 식 $\sqrt{\dfrac{x}{1-\frac{x-1}{x}}}$; $x < 0$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

이 식은 제곱근 안에 분수가 겹쳐 있으므로 작은 조각으로 쪼갠다. 먼저 작은 분모를 정리하고, 그다음 나눗셈을 하고, 마지막으로 제곱근을 취한다. $x$가 음수이므로 마지막 단계에서 부호에 주의해야 한다. 그다음 $x=-2$ 같은 시험값으로 결과를 확인하고 비슷하게 생긴 선택지들을 배제한다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 1

분모를 정리한다

분모 $1-\dfrac{x-1}{x}$만 본다.
$1$을 $\dfrac{x}{x}$로 써서 두 항이 분모 $x$를 공유하게 한 뒤 분자를 뺀다: $x-(x-1)=x-x+1=1$.
그러면 분모 전체가 $\dfrac{1}{x}$로 줄어든다.

$$1-\frac{x-1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{x-1}{x}=\frac{x-(x-1)}{x}=\frac{1}{x}$$

💡 두 조각의 분모를 같게 하면 분자가 거의 지워져 $\tfrac{1}{x}$만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.A.1 단계 2

나눗셈을 한다

이제 근호 안은 $\dfrac{x}{1/x}$이다.
분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것이므로, $\tfrac{1}{x}$로 나누는 것은 $x$를 곱하는 것과 같다.
따라서 $x\cdot x=x^2$이 된다.

$$\frac{x}{\frac{1}{x}}=x\cdot x=x^2$$

💡 $\tfrac{1}{x}$로 나누면 그것이 $x$로 뒤집혀서 지저분한 분수가 그냥 $x^2$이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

제곱근을 취한다

이제 식은 $\sqrt{x^2}$이다.
제곱한 수의 제곱근은 0으로부터의 거리, 즉 절댓값이다: $\sqrt{x^2}=|x|$.
이것은 $x$의 부호와 상관없이 항상 0이거나 양수인 값이다.

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

💡 제곱은 부호를 지우므로 그 제곱근은 $x$의 크기로 되돌아오며 결코 음수가 아니다.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 4

x가 음수임을 이용한다

음수의 절댓값은 그 수의 반대이다: $|x|=-x$이고, $x<0$이므로 $-x$는 양수여서 양의 제곱근과 맞는다.
$x=-2$로 확인하면: 원래 식은 $\sqrt{4}=2$가 되고, $-x=-(-2)=2$이다.
비슷하게 생긴 선택지들은 어긋난다: $x=-2$, $1$, $\sqrt{-2}$는 $2$가 아니다.
따라서 답은 (A)이다.

$$x<0 \;\Rightarrow\; |x|=-x$$

💡 제곱근은 양수로 나와야 하며, 음수인 $x$에 대해서는 $-x$가 양수로 뒤집힌다.

[1] #7 7.NS.A.1 분모 $1-\dfrac{x-1}{x}$만 본다. $1$을 $\dfrac{x}{x}$로 써서 두 항이 분모 $x$를 공유하게 한 뒤 분자를 뺀다:

[2] #7 6.NS.A.1 이제 근호 안은 $\dfrac{x}{1/x}$이다. 분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것이므로, $\tfrac{1}{x}$로 나누는 것은 $

[3] #7 8.EE.A.2 이제 식은 $\sqrt{x^2}$이다. 제곱한 수의 제곱근은 0으로부터의 거리, 즉 절댓값이다: $\sqrt{x^2}=|x|$. 이것은 $x$의

[4] #3 6.NS.C.7 음수의 절댓값은 그 수의 반대이다: $|x|=-x$이고, $x<0$이므로 $-x$는 양수여서 양의 제곱근과 맞는다. $x=-2$로 확인하면: 원

검토

합리성 확인: 결과 $-x$는 $x<0$일 때 양수이며, 이는 실수 제곱근이 내놓아야 하는 값과 정확히 일치한다. $x=-2$를 넣으면 원래 식은 $2$가 되고 $-x$도 $2$가 되어 서로 맞는다. 선택지 (B) $x$는 음수가 되고, 선택지 (E) $x\sqrt{-1}$은 실수조차 아니므로 둘 다 실수 제곱근의 값이 될 수 없다.

대안 접근: 대부분의 대수 계산을 건너뛰고 $x=-2$ 같은 안전한 값 하나만 넣어 본다. 식은 $\sqrt{4}=2$가 되고, 선택지 중 $-x=2$만 맞는다. $x=-2$, $1$, $\sqrt{-2}$는 모두 빗나간다. $x=-1$을 쓰면 함정인데, 그때는 $-x$와 $1$이 모두 $1$이 되기 때문이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers ($1-\frac{x-1}{x}$을 공통 분모로 묶어 $\frac{1}{x}$로 정리하는 데 사용)
6.NS.A.1 Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems ($x$를 $\frac{1}{x}$로 나눌 때 역수를 곱해 $x^2$을 얻는 데 사용)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($\sqrt{x^2}=|x|$이 음이 아닌 값임을 인식하는 데 사용)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers ($x$가 음수이므로 $|x|$를 $-x$로 바꾸는 데 사용)

⭐ $x^2$의 제곱근은 $x$의 크기이므로, $x$가 음수일 때 답은 양수로 나오는 $-x$이다.