AMC 10 · 2007 · #1

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

percentagemulti-digit-arithmeticidentify-subproblems identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentage

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

공연 티켓 한 장의 정가는 $$$20$이다. Susan은 25% 할인 쿠폰을 사용하여 티켓 4장을 구입한다. Pam은 30% 할인 쿠폰을 사용하여 티켓 5장을 구입한다. Pam은 Susan보다 몇 달러를 더 지불하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2$

(B)

$\ 5$

(C)

$\ 10$

(D)

$\ 15$

(E)

$\ 20$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 티켓 한 장의 정가는 $\$20$이다. 수잔은 $25\%$ 할인 쿠폰으로 티켓 $4$장을 사고, 팸은 $30\%$ 할인 쿠폰으로 티켓 $5$장을 산다. 팸이 수잔보다 몇 달러를 더 내는지 구하여라.

주어진 것: 티켓 한 장의 정가는 $\$20$이다; 수잔은 $25\%$ 할인으로 티켓 $4$장을 산다; 팸은 $30\%$ 할인으로 티켓 $5$장을 산다; 선택지: (A) $2$, (B) $5$, (C) $10$, (D) $15$, (E) $20$

구하는 것: 팸이 수잔보다 몇 달러를 더 내는지

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

두 사람을 비교하는 문제이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 조각으로 나눈다: 수잔이 내는 돈, 팸이 내는 돈, 그리고 그 차이. 각 조각은 모양이 같다 — 정가 합계를 구한 뒤 그 사람의 할인율을 적용한다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 모든 수를 달러로 유지해서, 할인이 달러 합계에 적용되고 마지막 뺄셈이 달러끼리 비교되도록 해 준다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

각 사람의 정가 합계

티켓 한 장이 $\$20$이므로, 수잔의 티켓 $4$장은 할인 전 $4\times20=\$80$이고, 팸의 티켓 $5$장은 할인 전 $5\times20=\$100$이다.

$$4\times20=80,\qquad 5\times20=100$$

💡 티켓마다 값이 같으므로, 합계는 값에 티켓 수를 곱한 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

수잔의 25% 할인 적용

$25\%$ 할인은 값의 $4$분의 $1$을 빼는 것이므로, 수잔은 $\$80$의 $75\%$를 낸다. $80$의 $4$분의 $1$은 $20$이므로 할인액은 $\$20$이고, 수잔은 $80-20=\$60$을 낸다.

$$25\%\times80=20,\qquad 80-20=60$$

💡 퍼센트는 백분율이므로, 합계에서 $25\%$를 빼는 것은 그 합계의 $4$분의 $1$을 빼는 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

팸의 30% 할인 적용

$30\%$ 할인은 팸이 $\$100$의 $70\%$를 낸다는 뜻이다. $100$의 $30\%$는 $30$이므로 할인액은 $\$30$이고, 팸은 $100-30=\$70$을 낸다.

$$30\%\times100=30,\qquad 100-30=70$$

💡 $100$의 퍼센트는 곧 그만큼의 달러인데, 퍼센트가 이미 백당 개수이기 때문이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

두 금액 비교

팸은 $\$70$, 수잔은 $\$60$을 낸다.
차이는 $70-60=\$10$이므로 팸이 수잔보다 $\$10$ 더 내며, 이것이 선택지 (C)이다.
오답들은 엉뚱한 수를 비교한 데서 나온다: (E) $20$은 할인 전 정가 합계의 차이($100-80$)이고, 더 작은 값들은 할인을 주문 전체가 아니라 티켓 한 장에만 적용했을 때 나온다.

$$70-60=10\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 "얼마나 더"는 두 최종 금액의 뺄셈이다.

[1] #7 4.OA.A.3 티켓 한 장이 $\$20$이므로, 수잔의 티켓 $4$장은 할인 전 $4\times20=\$80$이고, 팸의 티켓 $5$장은 할인 전 $5\tim

[2] #7 6.RP.A.3 $25\%$ 할인은 값의 $4$분의 $1$을 빼는 것이므로, 수잔은 $\$80$의 $75\%$를 낸다. $80$의 $4$분의 $1$은 $20$이

[3] #7 6.RP.A.3 $30\%$ 할인은 팸이 $\$100$의 $70\%$를 낸다는 뜻이다. $100$의 $30\%$는 $30$이므로 할인액은 $\$30$이고, 팸은

[4] #7 4.OA.A.3 팸은 $\$70$, 수잔은 $\$60$을 낸다. 차이는 $70-60=\$10$이므로 팸이 수잔보다 $\$10$ 더 내며, 이것이 선택지 (C)이

검토

합리성 확인: 수가 작아서 검산이 쉽다: 수잔은 $\$60$, 팸은 $\$70$을 내는데, 둘 다 정가 합계인 $\$80$과 $\$100$보다 작고, 퍼센트가 딱 나누어떨어지므로 둘 다 정수 달러이다. 팸은 티켓을 더 많이 사고도 할인이 더 큰 덕분에 $\$10$만 더 낸다 — 추가 티켓이 값을 올리고 더 깊은 할인이 그것을 다시 끌어내리는 셈이라 앞뒤가 맞는다. 답 $\$10$은 선택지의 가운데에 있어 예상되는 적당한 차이와 들어맞는다.

대안 접근: 할인액 대신 내는 비율을 바로 쓴다. 수잔은 $\$80$의 $75\%$를 내므로 $0.75\times80=\$60$이고, 팸은 $\$100$의 $70\%$를 내므로 $0.70\times100=\$70$이다. 빼면 $70-60=\$10$으로 같은 결과가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (각 정가 합계($4\times20$, $5\times20$)를 구하고 최종 차이 $70-60$을 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (각 퍼센트 할인을 달러 합계에 적용: $\$80$의 $25\%$ 할인은 $\$60$, $\$100$의 $30\%$ 할인은 $\$70$을 남긴다.)

⭐ 먼저 각 사람의 정가 합계를 구하고, 그 사람의 퍼센트만큼 빼고, 두 최종 금액을 빼서 비교하자.