AMC 10 · 2007 · #12

학년 4 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

complementary-countingcombinations-basicexponents complementary-counting ↑ 선수 지식: complementary-counting

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 명의 가이드가 여섯 명의 관광객을 인솔하고 있다. 두 가이드는 그룹을 나누기로 한다. 각 관광객은 두 가이드 중 한 명을 선택해야 하는데, 단 각 가이드는 적어도 한 명의 관광객을 맡아야 한다. 가이드와 관광객으로 이루어진 서로 다른 그룹 배정은 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 명의 가이드가 여섯 명의 관광객을 나눠 맡습니다. 각 관광객은 두 가이드 중 한 명을 고르고, 어느 가이드도 혼자 남으면 안 됩니다. 여섯 명의 관광객을 두 가이드에게 나누는 서로 다른 방법이 몇 가지인지 세어 보세요.

주어진 것: 가이드는 정확히 두 명, 관광객은 여섯 명입니다; 각 관광객은 두 가이드 중 정확히 한 명을 골라야 합니다; 각 가이드는 적어도 한 명의 관광객을 맡아야 합니다; 보기: (A) $56$, (B) $58$, (C) $60$, (D) $62$, (E) $64$

구하는 것: 여섯 명의 관광객을 두 가이드에게 나누는, 규칙을 지키는 방법의 수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

'각 가이드는 적어도 한 명을 맡아야 한다'는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)의 전형적인 신호입니다. 규칙을 지키는 나눔을 곧바로 세는 대신, 규칙 없이 모든 나눔을 센 다음, 규칙을 어기는 몇 가지만 빼면 됩니다. 모든 나눔을 세는 일은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 쉬워집니다. 각 관광객의 선택이 서로 독립인 작은 결정이고, 독립인 선택들은 곱해지기 때문입니다. 규칙을 어기는 나눔은 모두가 한 가이드에게 몰리는 두 경우뿐이므로, 빼는 일은 단 한 번의 뺄셈입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 그룹 크기별로 세어 독립적으로 확인해 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 1

규칙 무시하고 모든 나눔 세기

잠시 '적어도 한 명' 규칙을 잊어 봅니다.
각 관광객은 가이드 A와 가이드 B 중에서 스스로 고르므로, 관광객 한 명마다 $2$가지 선택이 있습니다.
여섯 번의 선택이 서로 독립이므로 방법의 수는 곱해집니다.
첫 번째 관광객이 $2$가지, 두 번째가 $2$가지, 이렇게 여섯 명 모두.
즉 $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6} = 64$가지 나눔이 전부입니다.

$$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6} = 64$$

💡 두 갈래로 갈 수 있는 관광객이 한 명 늘 때마다 가능한 나눔의 수는 두 배가 됩니다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 2

규칙을 어기는 나눔 찾기

규칙은 어느 가이드도 비면 안 된다는 것입니다.
$64$가지 나눔 중 규칙을 어기는 것은 무엇일까요?
한 가이드가 비는 경우는 관광객 전원이 다른 가이드를 골랐을 때뿐입니다.
그런 경우는 정확히 두 가지입니다.
여섯 명 모두 가이드 A에게 가서 B가 비거나, 여섯 명 모두 가이드 B에게 가서 A가 비는 경우입니다.
그러므로 규칙을 어기는 나눔은 $2$가지입니다.

$$\text{어기는 경우} = \underbrace{1}_{\text{모두 A}} + \underbrace{1}_{\text{모두 B}} = 2$$

💡 가이드가 비는 것은 전체가 다른 가이드로 몰리는 극단적인 경우뿐입니다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 3

빼서 답 구하기

규칙을 지키는 나눔은 모든 나눔에서 어기는 나눔을 뺀 것입니다.
$64 - 2 = 62$.
그러므로 두 가이드가 모두 적어도 한 명씩 맡는 나눔은 $62$가지이고, 이는 보기 (D)입니다.

$$64 - 2 = 62 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 나쁜 두 경우만 덜어내면 남는 것은 모두 규칙을 지킵니다.

[1] #7 3.OA.A.1 잠시 '적어도 한 명' 규칙을 잊어 봅니다. 각 관광객은 가이드 A와 가이드 B 중에서 스스로 고르므로, 관광객 한 명마다 $2$가지 선택이 있

[2] #16 4.OA.A.3 규칙은 어느 가이드도 비면 안 된다는 것입니다. $64$가지 나눔 중 규칙을 어기는 것은 무엇일까요? 한 가이드가 비는 경우는 관광객 전원이 다

[3] #16 4.OA.A.3 규칙을 지키는 나눔은 모든 나눔에서 어기는 나눔을 뺀 것입니다. $64 - 2 = 62$. 그러므로 두 가이드가 모두 적어도 한 명씩 맡는 나눔

검토

합리성 확인: 답 $62$는 보기의 범위($56$에서 $64$) 안에 있고, 규칙 없는 전체 수 $64$보다 딱 $2$ 작습니다. 규칙을 어기는 나눔이 두 가지뿐이라는 사실과 맞아떨어집니다. 또한 $62$는 짝수인데, 그래야 맞습니다. 규칙을 지키는 모든 나눔은 두 가이드를 서로 바꾼 거울짝과 짝지을 수 있어서, 규칙을 지키는 나눔이 짝을 이루어 개수가 짝수가 되기 때문입니다.

대안 접근: 규칙을 지키는 나눔을 가이드 A가 몇 명을 맡는지에 따라 직접 셀 수도 있습니다. 가이드 A는 $1$명부터 $5$명까지 맡을 수 있습니다($0$명이나 $6$명 전원은 안 됩니다). A에게 갈 관광객을 고르는 방법은 $\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}+\binom{6}{4}+\binom{6}{5} = 6+15+20+15+6 = 62$로, 여집합으로 센 결과와 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 Interpret products of whole numbers as combining equal groups of choices (여섯 번의 독립적인 두 갈래 선택을 곱 $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$로 읽는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multistep problems using the four operations (모두 한 가이드로 몰리는 두 가지 금지된 나눔을 찾아 빼는 데 사용, $64 - 2 = 62$.)

⭐ '양쪽 모두 적어도 하나씩'이라는 규칙이 있으면, 먼저 가능한 모든 나눔을 센 다음, 한쪽을 비우는 몇 가지만 빼면 됩니다.