경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2003 · #18
학년 4 counting
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제 자체가 그림이라, 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이 됩니다. 각 점에 "사라까지의 최단 거리" 라벨(1, 2, 3, 또는 경로가 없으면 ∞)을 적어 두면 "누가 초대받는가?" 가 단순한 분류 문제로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "초대받지 못함" 을 두 묶음으로 나눕니다 — 사라와 다른 연결 성분에 있는 점들, 그리고 사라와 같은 성분에 있지만 거리가 3 이상인 점들. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 교차 검증: 마지막에 "초대받음" 의 개수를 세어 20 에서 빼도 같은 답이 나와야 합니다.
사라의 친구 표시하기
각 점에 사라까지의 거리를 적습니다. 사라와 바로 이어진 점이 8 개이니, 이들이 거리 1 친구입니다.
주어진 그림에 "사라까지의 거리" 라벨을 얹는 순간, "누가 초대받는가?" 가 단순한 분류 작업이 됩니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram친구의 친구 찾기
각 친구에서 선분을 하나 더 따라가 친구의 친구를 모으면, 거리 2 집합은 6 개이고 모두 초대받습니다.
직접 친구에서 선분 하나만큼 더 걸어가서 새로 만나는 점이 "친구의 친구" 입니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram초대 못 받은 쪽 둘로 나누기
"초대받지 못함" 을 겹치지 않는 두 묶음으로 나눕니다. A: 사라에게 경로가 없는 점. B: 같은 성분이지만 거리 3 이상인 점.
한 번에 세려 하지 말고, 겹치지 않는 두 묶음으로 나눠서 따로 세는 게 안전합니다.
3.OA.D.8Identify Subproblems떨어진 점 세기
묶음 A(연결 안 됨): 왼쪽 아래 삼각형 l-m-n 이 3 명, 외톨이 점 a 가 1 명이니 |A| = 4.
그래프의 다른 조각에 있는 점은 선분을 아무리 따라가도 사라에게 닿지 못하므로 모두 초대받지 못합니다.
3.OA.D.8Identify Subproblems너무 먼 점 세기
묶음 B(너무 먼 점): 사슬 e-f-g-h-i-j 에서 가운데 g, h 가 거리 3 이므로 |B| = 2.
사라에서 바깥으로 한 걸음씩 나가다 보면 사슬에서 "가까움" 라벨이 바닥나는 지점이 정확히 g, h 입니다.
Sarah의 관계망을 가로지르는 긴 점들의 사슬에서, 한가운데에 놓인 두 점은 양옆의 점이 초대받는데도 초대 명단에서 빠진다.
▸ 왜?
Sarah의 초대 명단은 정확히 두 단계의 친구 관계로 만들어진다 — 자기 친구, 그리고 그 친구들의 친구까지 — 그래서 세 번째 단계에 가서야 처음 닿는 사람은 명단에 없다.
▸ 왜?
가운데 두 점이 Sarah에게 닿는 가장 가까운 연결은 친구의 친구를 거쳐 가므로, Sarah에서 그 점까지 잇는 가장 짧은 친구 관계 사슬은 세 개의 연결로 이루어진다 — 초대받는 어떤 점보다도 하나 더 길다.
▸ 왜?
모든 반 친구를 Sarah까지의 가장 짧은 친구 사슬 길이로 분류하면 각 점은 딱 하나의 거리 단계에 들어가고, 두 단계에 걸치거나 빠지는 점은 없다; 초대받는 점들은 연결 한 개와 두 개 단계를 채우므로, 연결 세 개인 점은 처음으로 빠지는 단계에 놓인다.
▸ 왜?
Sarah의 친구도 아니고 그 친구들 중 누군가의 친구도 아닌 반 친구는 이름 붙은 두 무리 어디에도 맞지 않으므로, 남은 '초대받지 않음' 무리에 속한다.
▸ 왜?
반 전체는 겹침도 빈틈도 없이 초대받는 부분과 초대받지 않는 부분으로 나뉘므로, 초대받는 부분 밖에 있는 사람은 자동으로 다른 쪽 안에 있다.
두 묶음 더하기
겹치지 않는 두 묶음을 더하면 4 + 2 = 6, 선택지 (D).
겹치지 않는 묶음은 그냥 더하면 됩니다 — 중복 걱정이 없습니다.
3.OA.D.8Identify Subproblems여집합으로 검산하기
여집합 검산: 초대 8 + 6 = 14 명, 20 - 14 = 6 명이 미초대 — 직접 셈과 일치.
"초대받음" 을 세서 20 에서 빼는 것은 여집합 검산 — 직접 센 6을 확인해 줍니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement각 점에 "사라까지 몇 걸음?" 을 적고 분류하세요. 거리 1, 2는 초대, 나머지는 미초대 — 이 AMC 8 그래프 문제는 4학년 분류·덧셈 문제로 바뀌어 답이 6으로 떨어집니다.
- 사라의 친구 표시하기
- 친구의 친구 찾기
- 초대 못 받은 쪽 둘로 나누기
- 떨어진 점 세기
- 너무 먼 점 세기
- 두 묶음 더하기
- 여집합으로 검산하기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.